【正文】 (21)()]([1 : : .(0)(1)(截止頻率其中 cccjwwwwwweH????????例 :一個(gè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)如下 ,試求該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) . ()jHe ??c?c???? 2?2? 01s i n11( ) ( )22ccj j n j n c nh n H e e d e dn?? ? ? ????? ? ???? ? ???理想低通濾波器頻帶有限，但為非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。該系統(tǒng)的輸入序列是 x(n),頻譜是 ,則該系統(tǒng)的輸出序列 y(n)的頻譜 是 輸出信號(hào)的頻譜是輸入信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積 .(時(shí)域卷積定理 ) 1. 如果兩個(gè)序列的時(shí)域乘積為 ,則其頻域表示為 : 兩個(gè)相乘序列的傅氏變換是各自的傅氏變換的卷積 0() jnx n e ??00( ) ( )j n jy n e H e???對(duì)于 線性時(shí)不變 系統(tǒng)，若輸入序列為 (復(fù)指數(shù)序列 )，則 00000()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kj n kkj n j kkj n jy n x n h n h n x nh k x n kh k ee h k ee H e??????? ? ???? ? ???? ? ?? ? ? ?????????1( ) * ( ) ( ) * ( )2jjn x n y n X e Y e d? ??????? ? ? ??? ?22 1( ) ( )2jn x n X e d? ?????? ? ? ??? ?帕斯瓦爾定理 11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )22h n n n n? ? ?? ? ? ? ?()jHe?( ) 5 c o s 4nxn ?? ()yn例：一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，有 求 當(dāng) 時(shí)，求 解： 445( ) 5 c o s42nnjjnx n e e??? ???? ? ?????根據(jù)復(fù)指數(shù)序列通過(guò)線性時(shí)不變性質(zhì) ，有： 00( ) ( )j n jy n e H e???2wc o s2ec o s w )(1e)e21e21(1ee21e212 ) ] eδ( n211)δ( nδ( n )21[h ( n ) e)H ( e2jwjwjwjwjw2 j wjwnj w nnj w njw??????????????????????????????? ??4 4 4 4()4 4 4 45( ) ( ) ( )25 1 c os 1 c os( )2 4 4( 1 ) 5 1 c os 1 c os 44nnj j j jnnj j j jy n e H e e H ee e e en? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ???????????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( )11 5 c os * ( ) ( 1 ) ( 2)4 2 25 ( 1 ) 5 ( 2) c os 5 c os c os2 4 4 2 4( 1 ) ( 1 ) 5 c os c os 5 c os4 4 4( 1 ) 5 1 c os 1 c os 44y n x n h nnn n nn n nnnn?? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ? ? ???????? ? ??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?或者由卷積運(yùn)算，得： 16 傅立葉變換的對(duì)稱性質(zhì) 一、共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足 xe(n)=xe*(n)，則稱序列為共軛對(duì)稱序列。 設(shè)序列 其中 分別表示的實(shí)部和虛部。 *特殊地，如是實(shí)序列，共軛對(duì)稱序列就是偶對(duì)稱序列。()( nxnxnxnx eieierer ????? 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足 xo(n)=xo*(n)，則稱序列為共軛反對(duì)稱序列。()( nxnxnxnxoioioror ????? 這說(shuō)明共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇對(duì)稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對(duì)稱序列（偶函數(shù)）。 任一序列可表為共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和 )()()( nxnxnx oe ??即)]()([)]()([)()( nxnxjnxnxnxnx oieioreroe ?????這是因?yàn)?)()()()(虛部。 )()( jwjw eXeX ???)( jwe eX)( jweX)( jwe eX 若 ，則稱 為 共軛對(duì)稱函數(shù) ，記作 ，若 為實(shí)函數(shù)，則稱為 奇函數(shù) 。 )()]([ ?jIo ejXnxF ?即，證明： )()]()()()([21)]()([21)]([)]()([21)(**???????jIjIjRjIjRjjooejXejXeXejXeXeXeXnxFnxnxnx???????????? 這里證明的傅里葉變換對(duì)稱性質(zhì)可見課本 P18表 1－ 1。 傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)包含兩層意義，其一是 指傅里葉變換本身的對(duì)稱性質(zhì) ，包括我們前面證明的共軛對(duì)稱序列、共軛反對(duì)稱序列的傅里葉變換以及序列實(shí)部和虛部的傅里葉變換；其二是指頻 域和時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系 ，即傅里葉變換與反變換的對(duì)偶關(guān)系，如時(shí)間移位性與頻率移位性相對(duì)應(yīng)。僅有 公式 1， 2， 3， 8， 9需要記憶，其余可以導(dǎo)出。 研究?jī)?nèi)容： ? 信號(hào)經(jīng)采樣后發(fā)生的變化 （ 如頻譜的變化 ） ? 信號(hào)內(nèi)容是否丟失 （ 采樣序列能否代表原始信號(hào) 、如何不失真地還原信號(hào) ） ? 由離散信號(hào)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)的條件 采樣的這些性質(zhì)對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析十分重要 ， 要了解這些性質(zhì) ， 首先分析采樣過(guò)程 。 ?()axt ()sxt ()sxt()axt()st采 樣( ) ( ) ( )sax t x t s t?? ( ) [ ( ) ( ) ]ns t u t n T u t n T ??? ? ?? ? ? ? ??采樣過(guò)程 ，其中 為脈寬為 ，周期為 T的矩形脈沖周期信號(hào)， 為開關(guān)閉合時(shí)間， T為采樣周期。 特點(diǎn)：采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準(zhǔn)確地等于輸入信號(hào)在采樣瞬間的幅度。 實(shí)際情況下， τ ＝ 0達(dá)不到，但 τT 時(shí)，實(shí)際采樣接近理想采樣，理想采樣可看作是實(shí)際采樣物理過(guò)程的抽象，便于數(shù)學(xué)描述，可集中反映采樣過(guò)程的所有本質(zhì)特性，理想采樣對(duì) Z變換分析 相當(dāng)重要。 )()( nxtxs 和)(txs)(nx二 .采樣信號(hào)的頻譜和采樣定理 ( ) ( ) ( )sax t x t s t?? 由上可知 ，且 為周期信號(hào) ,故可以將 展開成傅立葉級(jí)數(shù) ,即 )(tT?TQ s /2, ??( ) ( ) ( )T ns t t t n T?? ? ? ? ?? ? ??() sjk tTkkt A e? ? ?? ? ?? ?2222221()1 ( )1 ( )1 sssTjk tk T tTTjk ttnTTjk ttTA t e dTt nT e dTt e dTT?????????? ? ??????????????其中 1() sjk tT kteT?? ?? ? ?? ?所以 1( ) ( ) ( ) ( ) sj k ts a T a kx t x t t x t eT?? ?? ? ?? ? ? ? ?()( ) ( )1 ( )1 ( )1 ( ( ) )ssjts s tjk t jtat kj k tatkaskX j x t e dx t e e dTx t e dTX j kT?????? ?? ??? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ????????????? ? ? ????? ?? 的頻譜為 假設(shè) 為帶限信號(hào) ,最高頻率分量為 ,則有 1 ( ) ( ( ) )s a skX j X j kT?? ? ?? ? ? ? ??)(txs)(txa hQ()aXj?h???01 ?h???0 s?s?? 2s?? 2s1T()sXj?01T ???? 2?2??hhT? ??h?()jXe ?()aXj??h?h??01 ?h?h??0 s2s? 2s??s??1T ()sXj ?ns 2).1( ? ns 2).2( ?結(jié)論 : 是 的周期延拓，周期為 ,且幅度上要乘以主要因子 。 ( ) ()0 ahahXjXj ? ? ? ? ????? ? ? ???)( jQxshs 2?)(txs )(txa反之當(dāng)采樣頻率 時(shí)的 頻譜有混疊失真，無(wú)法由 無(wú)失真的恢復(fù) 。 ?同時(shí)，為避免高于折疊頻率的噪聲信號(hào)進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于 ?S/2頻率分量進(jìn)入。 從數(shù)學(xué)的角度就是 函數(shù)的插值 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()si n ( )()a s s tatnatnanany t x t x t h t x h t dx nT h t dx nT h t dx nT h t nTt nTTx nTt nTT??? ? ? ?? ? ? ????????? ??????? ?????? ???? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ????????? ???若記 為內(nèi)插函數(shù)，則 ()sin()()nt n TTtt n TT?????? ( ) ( ) ( )a a nnx t x n T t??? ? ???? 的特性： 在抽樣點(diǎn) mT上，其值為 1。 )( mTtTS a ??(m2)T (m1)T mT (m+1)T (m+2)T 1 ()sin()()nt n TTtt n TT??????? ? ? ? ? ????????maaa mTtTSmTxtx :.4 的說(shuō)明?（ 1）在 抽樣點(diǎn) 上，信號(hào)值不變； （ 2）抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各抽樣函數(shù)波形的延伸疊