【正文】 （1）設f（x）在[a，b]上是連續(xù)的，則f（x）在[a，b]上一定存在著最大值M和最小值m。注意：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值。注意：①如果f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極大值而沒有極小值，則這個極大值就是f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的最大值；同理如果f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極小值而沒有極大值，則這個極小值就是f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的最小值。例1[0019]求函數(shù)y=xe－x在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值（）[解析]本小題主要考查求函數(shù)的最值。y＇=（1－x）e－x，令y＇=0，得駐點x=1,因為y（0）=0,所以函數(shù)y=xe－x在區(qū)間[0，2]上的最大值,最小值y（0）=0.（?。┲档膽脝栴}求解最大（小）值的應用問題的步驟：（1）認真審題，弄清題意，列出函數(shù)解析式；（2）對這個函數(shù)求極值；（3）判定最大（?。┲?；（4）答題。設小正方形的邊長為x，則方盒底面的邊長為a－2x，又設方盒的容積為V，則令，得駐點，其中不合題意，應舍去，當時，當時。（四）利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式欲證當x≠x0時,有f(x)g(x)作輔助函數(shù)F(x)=f(x)g(x_F(x)滿足以下條件：（1）F(x0)=0；（2）當xx0時，F(xiàn)′(x)0，F(xiàn)(x)F(x0)，F(xiàn)(x)0當xx0時，F(xiàn)′(x)0，F(xiàn)(x)減函數(shù)F(x)F（x0）F(x)0F(x)g(x)0F(x)g(x)例1[0026]證明：[解析]本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。證：f(0)=0則當x0時，,為單調(diào)增加，∴f（x）f（0）例2[0328]證明：當x0時，[解析]本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。證：所以當x0時，,g(x)=x－ln(1+x)均單調(diào)增加,因為f(0)=0,g(0)=(x)f(0),g(x)g(0)=0，即,ln(1+x)x.綜上可知當x0時。主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分重點：導數(shù)和微分的定義、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系、導數(shù)與微分的關系。求導歌初等函數(shù)一式表，復合四則連環(huán)套。常冪指對三反三，導數(shù)公式要記牢。積的導數(shù)共兩項，u導乘v加u乘v導。復合函數(shù)層層導，不能重復不漏掉。高階導數(shù)階階導，歸納規(guī)律很重要。導數(shù)微分互等價，微分加尾別忘掉。今日唱起求導歌，求導感覺真美妙。定對增極凹拐線，增極凹拐是關鍵，適當添加輔助點，描點連線圖形見。[主要知識內(nèi)容]（一）不定積分有關概念定義設f（x）是定義在區(qū)間I上的一個己知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)F（x），使得在區(qū)間I上的每一點，都有則稱F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。定義函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)的集合稱為f（x）的不定積分，記作并稱為積分號，函數(shù)f（x）為被積函數(shù)，為被積表達式，x為積分變量。⑴⑵⑶⑷（k為不等于0的常數(shù)）[典型例題]例1[9607]如果等式成立，則f（x）等于.[解析]本小題主要考查不定積分概念。由不定積分的定義，有，即。滿分4分。故選B.例3[0304]f（x）=ex的一個原函數(shù)是 [解析]本小題主要考查原函數(shù)的概念。，所以f（x）=ex的一個原函數(shù)是ex。滿分4分。滿分4分。[解析]本小題主要考查先作函數(shù)式的變換，再求不定積分。由，得,則（2）第一換元積分法若，且有連續(xù)的導數(shù)，則證:例1.[0111]______.[解析]本小題主要考查湊微分法求不定積分。解一：解二：常用的湊微分公式：①②③④⑤⑥①②③④⑤⑥⑦例2（1）[0218]計算[解析]本小題主要考查湊微分法求不定積分。（2）（3）例3.[0022]計算[解析]本小題主要考查湊微分法求不定積分。例4.[9822]計算[解析]本小題主要考查湊微分法求不定積分。（3）第二換元積分法如果是嚴格單調(diào)可導函數(shù)，且，又設具有原函數(shù)F（t），則有第二換元積分公式其中是的反函數(shù)。令，得，dx=2tdt，則有[解析]本小題主要考查通過簡單的根式代換求不定積分。令x=sint，得dx=costdt，則有[解析]本小題主要考查通過三角換元（切變）求不定積分。滿分6分。滿分6分。滿分7分。滿分6分。例3[9722]計算[解析]本小題主要考查求簡單有理函數(shù)的不定積分。求不定積分的歌：微分積分逆運算，先后積微必還原，不定積分是求原函數(shù)，不加常數(shù)不算完，不定積分提限外，一表三法記心間，牢記基本積分表，通過求導可檢驗。第二節(jié)定積分及其應用[復習考試要求]，了解函數(shù)可積的條件，掌握對變上限積分求導數(shù)的方法。其中f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分上限，b稱為積分下限。（2）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上只有有限個有界間斷點，則f（x）在[a,b]上可積。（1）。（2）。（4）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有 ：定理如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有推論①②③定理如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則是f（x）在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。滿分4分。[解析]f（0）=2，∵f（00）≠f（0+0），∴f（x）在x=0處間斷。，則k [答]30例4（1）[0221]設函數(shù)，求[解析]本小題主要考查分段函數(shù)計算定積分。例1（1）[0023]計算[解析]本小題主要考查用換元積分法計算定積分。方法一：本題利用了方法二：令，得，當x=0，時u=3；當x=1時，u=4e 則有（2）.方法一：方法二：令sinx=u,cosxdx=du當x=0時,u=0。滿分7分。例3(1)[0313](2)[0411](3)[0618]例1[0324]計算[解析]本小題主要考查用分部積分法計算定積分。解一：令u=xdv=sinxdxdu=dxv=cosx解二：例2（1）[0423]計算[解析]本小題主要考查用分部積分法計算定積分。（2）[0624]（四）廣義積分定義積分上、下限中至少有一個為無窮大的定積分，稱為無窮區(qū)間的廣義積分，簡稱為無窮積分，或廣義積分。類似地可以定義廣義積分和的收斂和發(fā)散。滿分6分。滿分6分。(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。[解析]畫出圖形，解方程組得兩曲線的交點O（0，0），A（2，4）。解析]畫出圖形，解方程組得兩曲線的交點A（1，1），B（4，2）。[解析]畫出圖形，過點（1，0）處的切線方程為y=2(x1)。求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟：(1)畫草圖，求出曲線的交點坐標；(2)用穿線掃描法選擇類型；(3)確定被積函數(shù)及積分區(qū)間；(4)計算定積分。[證明]由己知，得等式兩邊同時對x求導，得即在上式中，令，得即例3設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，證明[解析]本小題主要考查用換元積分法證明等式。證明：作變換，令12x=t，得x=(1t)/2，dx=(1/2)dt，當x=0時，t=1；當x=1/2時，t=0則有例4[9927]設函數(shù)f(x)滿足證明[證明]令由己知，得f(x)=lnxA上式兩邊同時取區(qū)間[1,e]上的定積分，得即得eA=1，A=1/e即例5．設,證明f(x)=x+2[證明]：本章小結(jié)一元函數(shù)積分學是微積分學的核心內(nèi)容之一，在考試中約占32%，約為48分左右，主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分重點：原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的性質(zhì)，定積分的概念與性質(zhì)，無窮區(qū)間上廣義積分的概念。三、應用部分重點：定積分的幾何應用，求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。了解二元函數(shù)的幾何意義。，掌握二元函數(shù)的一階偏導數(shù)的求法。類似地可以定義三元函數(shù)，記作u=f(x,y,z)二元及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。如z=ax+by+c表示一個平面；定義:平面上使二元函數(shù)z=f(x,y)有定義的一切點的集合，稱為二元函數(shù)的定義域，記為D或D(f)。求二元函數(shù)定義域與一元函數(shù)相仿，需遵照以下幾個原則：（1）分式的分母不為零；（2）開偶此方根號下的表達式必須大于或等于零；（3）對數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）arcsinf(x,y)，arccosf(x,y)中的。(1)[答](2)y=ln(xy)[答](3)[答]例2．求下列二元函數(shù)的函數(shù)值(1),。f(x+y,xy)=(x+y)(xy)令x+y=u,xy=vf(u,v)=uvf(x,y)=xy[答]xy(3),則f(x,y)=。如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一個點(x,y)處都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。在分母不為零的點處，連續(xù)函數(shù)之商仍為連續(xù)函數(shù)。（3）多元初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)。（5）介值定理有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域D上必能取得介于最大值與最小值之間的任何值。如果當時，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點處對x的偏導數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)在點處對x的偏導數(shù)的幾何意義是：在曲面z=f(x,y)與平面相交的曲線，即曲線上，過點所作切線對x軸的斜率tanα同理，二元函數(shù)z=f(x,y)在點處對y的偏導數(shù)的幾何意義是：在曲面z=f(x,y)與平面相交的曲線，即曲線上，過點所作切線對y軸的斜率。同理，當求z=f(x,y)對y的偏導數(shù)時，只要將二元函數(shù)中的x看作常數(shù)，而只要對y求導即可。[答]例2[9805]設，則=。..[答]D例4[0014]設。例[0114]設。+2y +2y [答]A（二）全微分定義:設z=f(x,y)在點P(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，對于自變量x,y的改變量，如果函數(shù)z=f(x,y)的全改變量可表示為其中A,B與無關，可能是x,y的函數(shù)，當時，是比的較高階無窮小量，則稱為函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處的全微分，記作dz，即，并稱函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)處可微。相應地，函數(shù)z=f(x,y)在點處的微分可以理解為微分函數(shù)dz在點處的值，常記為 （1）全微分存在的必要條件設z=f(x,y)在點處可微分，則z=f(x,y)在點處的兩個偏導數(shù)，必定存在，且或記為因此，如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微分，則有同樣，如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微分，則（2）全微分存在的充分條件定理1如果z=f(x,y)在點P(x,y)處有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則z=f(x,y)在點P(x,y)處可微分，且求z=f(x,y)的全微分的表達式，可先求出兩個一階偏導數(shù)，然后代入全微分公式即可。例1[0404]函數(shù)在點（1，1）處的全微分=。例3[9825]設，求dz。（三）復合函數(shù)微分法定理：設函數(shù)u=u(x,y)，v=v(x,y)在點(x,y)處有連續(xù)的偏導數(shù)。（四）隱函數(shù)微分法設由二元方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)，如果F(x,y)對x,y存在連續(xù)偏導數(shù)，且，則y對x的導數(shù)為。例1[0225]設z=f(x,y)由方程所確定，求。例3[0025]設z=f(x,y)由方程所確定，求dz。如果這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)也存在，則稱它們?yōu)閒(x,y)的二階偏導數(shù)。定理2如果f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)則在該區(qū)域D的這兩個二階偏導數(shù)必定相等。+cosy [答]D例2[0414]設z=ycosx，則=。（六）二元函數(shù)的極值（1）定義設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，對在該鄰域內(nèi)任何異于的點，如果總有，則稱點為的極大值點，稱為的極大值；如果總有，則稱點為的極小值點，稱為的極小值。例如z=xy，（0，0）不是極值點。④當時，可能為極值；也可能不為極值，要用其它方法另作討論。[解析]解方程組得駐點（2，2）,計算所以為極大值.[答]極大值。條件極值問題?？赊D(zhuǎn)化為無約束條件的極值問題，只需構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：求解方程組解出，則其中的點就是在約束條件下的可能取得極值的極值點坐標。也是所給實際問題的最大值點（或最小值點）。[解析]構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求解設解得所以為極值。[答]兩直角邊的邊長各為時，面積最大。主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分多元函數(shù)的概念，偏導數(shù)與全微分的概念，二元函數(shù)極值的概念。三、應用部分條件極值簡單應用題。第五章概率論初步[復習考試要求]、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。[主要知識內(nèi)容]第0節(jié)預備知識（一）兩個原理（加法原理）做一件事，完成它有n類方式，第一類方式有種方法，第二類方式有種方法，…，第n類方式有種方法，無論利用哪種方式的哪種方法都可以完成這件事，那么完成這件事的方法總數(shù)為。例如，某人由甲地經(jīng)過乙地到丙