高中數(shù)學(xué)人教版資料必修二立體幾何資料綜合提升卷-閱讀頁
2025-04-19 05:06本頁面
【正文】 13．（5分）（2008?上海模擬）異面直線a，b成80176。＜θ＜40176。＜θ＜50176。＜θ＜90176。＜θ＜90176。則有4條，等于90176?！螮PD=100176。而∠EPD的角平分線與a和b的所成角為50176。＜θ＜50176?！推矫鍭39。C39。可轉(zhuǎn)化為AA39。D39。D39。D39。E，得證．（2）先由等面積法A39。?A39。=A39。D39。E，再由勾股定理求得AE．【解答】（1）證明：AA39。B39。D39?！虰39。．又AE⊥B39?！郆39。⊥平面AA39。D39。E（2）解：A39。?A39。=A39。D39。B39。面積的2倍）∴68=A39。E=∴AE=．【點評】本題主要考查長方體的結(jié)構(gòu)特征，主要涉及了線線，線面，面面垂直的關(guān)系，以及基本量的關(guān)系．屬中檔題． 18．（12分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點．（1）求證：BG∥平面A1EF：（2）若P為棱CC1上一點，求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，平面A1EF⊥平面EFP？【考點】LZ：平面與平面垂直的性質(zhì)；LS：直線與平面平行的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】35 ：轉(zhuǎn)化思想；44 ：數(shù)形結(jié)合法；5F ：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）連接BD、DG，證明平面BGD∥平面A1EF，再證明BG∥平面A1EF；（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面A1EF的法向量與平面EFP的法向量互相垂直，即可求出的值．【解答】解：（1）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點，連接BD、DG，則EF∥BD，GD∥A1F，又BD?平面A1EF，EF?平面A1EF，所以BD∥平面A1EF；同理，GD∥平面A1EF，且BD∩GD=D，BD?平面BGD，GD?平面BGD，所以平面BGD∥平面A1EF，又BG?平面BGD，所以BG∥平面A1EF；（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，CP=t（0≤t≤1），A1（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（1，0），F(xiàn)（，0，0），P（0，1，t）；=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，1），設(shè)平面A1EF的法向量為=（x，y，z），則，即，取x=1，得=（1，﹣1，﹣）；又=（﹣1，t），設(shè)平面EFP的法向量為=（a，b，c），則，即，取a=1，得=（1，﹣1，），又平面A1EF⊥平面EFP，所以?=1+1﹣=0，解得t=，所以CP=，即=時，平面A1EF⊥平面EFP．【點評】本題考查了異面直線垂直的證明，也考查了直線與平面平行的證明以及使二面角為直二面角的線段的比值的求法問題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用． 19．（15分）（2011?湖南學(xué)業(yè)考試）ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（1）求證：平面ACD⊥平面PAC；（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；（3）設(shè)二面角A﹣PC﹣B的大小為θ，試求tanθ的值．【考點】LY：平面與平面垂直的判定；LM：異面直線及其所成的角；MT：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11 ：計算題；14 ：證明題；16 ：壓軸題．【分析】（1）由已知中，PA⊥面ABCD，結(jié)合面面垂直的判定定理，我們易得平面ACD⊥平面PAC；（2）令A(yù)C與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，則OE∥PC，則直線PC與BD所成角等于直線OE與BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．（3）A作AG⊥PC交PC于G，過G作GF⊥PC交PB于F，連接AF．則二面角A﹣PC﹣B的平面角為∠AGF，解三角形AGF，即可得到答案．【解答】證明：（1）∵PA⊥面ABCD，PA?平面PAC∴平面ACD⊥平面PAC；解：（2）令A(yù)C與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE如圖所示：∵O為BD的中點，則EO=PC==，且OE∥PC又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．∴OB=BD=，BE=∴|cos∠EOB|==；即異面直線PC與BD所成角的余弦值為；（3）過A作AG⊥PC交PC于G，過G作GF⊥PC交PB于F，連接AF．則二面角A﹣PC﹣B的平面角為∠AGF即∠AGF=θ．在Rt△APC中，PC=，∴，在△PBC中，PB=，BC=2，∴，∴，∴在Rt△PGF中，∴在△PGF中，PF=，∴AF=1，在△AGF中，∴【點評】本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，將空間問題轉(zhuǎn)化為一個平面解三角形的問題． 20．（18分）（2016春?包頭校級期末）如圖，△ABC各邊長均為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）證明：平面ADF⊥平面BCD；（2）求三棱錐C﹣DEF的體積；（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】41 ：向量法；4R：轉(zhuǎn)化法；5F ：空間位置關(guān)系與距離；5G ：空間角．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AD⊥平面BCD即可．（2）證明EH是三棱錐E﹣CDF的高，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．（3）以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．【解答】解：（1）證明：連接EF交CD于H，則EF是△ABC的中位線，在正△ABC中，AD⊥CD，BD⊥CD，折疊后，AD⊥CD，BD⊥CD且AD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，又AD?平面ADF∴平面ADF⊥平面BCD；（2）由（1）知AD⊥平面BCD，EH∥AD，∴EH⊥平面BCD，即EH⊥平面CDF，則EH是三棱錐E﹣CDF的高，且EF=AD=，則VC﹣DEF=VE﹣CDF=S△CDF?EH=CD?FH?EH=211=．（3）以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 則A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1），F(xiàn)（1，0），=（0，1），設(shè)=λ（﹣2，2，0），則=+=（2，0，﹣2）+（﹣2λ，2λ，0）=（2﹣2λ，2λ，﹣2），若AP⊥DE，則?=（2﹣2λ，2λ，﹣2）?（0，1）=0，即6λ﹣2=0，則λ=，即=．【點評】本題主要考查面面垂直的判斷，三棱錐體積的計算以及直線垂直的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法把直線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度． 第35頁（共35頁）
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