二次函數(shù)壓軸題最短路徑問題-閱讀頁
2025-04-10 23:36本頁面
【正文】 畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P，過點P作⊙E的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標． 【思路點撥】（1）由頂點式直接得出點D的坐標，再令y＝0，得(x3)21＝0解出方程，即可得出點A，B的坐標；（2）設(shè)HD與AE相交于點F，可以發(fā)現(xiàn)△HEF與△ADF組成一個“8字型”．對頂角∠HFE＝∠AFD，只要∠FHE＝∠FAD即可．因為∠EHF＝90176。即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE為直角三角形，得∠FHE＝∠FAD＝90176。．∵∠MOE＋∠COH＝90176?！唷鱀CG∽△EOM．∴＝，即＝．∴EM＝2，即點E坐標為(3，2)，ED＝3．由勾股定理，得AE2＝6，AD2＝3，∴AE2＋AD2＝6＋3＝9＝ED2．∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90176。．又∵∠AEO＋∠HFE＝90176。．由（2）的結(jié)論可得BO＝BN，AO＝AM，可得出∠BON＝∠BNO，∠AOM＝∠AMO，易得∠BON＋∠AOM＝90176。即可；（ii）如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）由題意，得，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2－1；（2）如圖①，設(shè)P（a，a2﹣1），就有OE＝a，PE＝a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ＝2，∴QP＝a2＋1．在Rt△POE中，由勾股定理，得PO＝＝a2＋1，∴PO＝PQ；（3）（i）如圖②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN＝BO，AM＝AO，BN∥AM，∴∠BNO＝∠BON，∠AOM＝∠AMO，∠ABN＋∠BAM＝180176。∠AOM＋∠AMO＋∠OAM＝180176?！?∠BON＋2∠AOM＝180176?！唷螹ON＝90176。FO＝FG，F(xiàn)′H＝F′O，∴四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O＋FD＝FG＋FD＝DG，F(xiàn)′O＋F′D＝F′H＋F′D，∴EG＝F′H，∴DE＜DF′，∴DE＋GE＜HF′＋DF′，∴DG＜F′O＋DF′，∴FO＋FD＜F′O＋DF′，∴F是所求作的點．∵D（1，1），∴F的橫坐標為1，∴F（1，）．【舉一反三】1．（12濱州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點．（1）求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM＋OM的最小值．2．（13成都）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c（b，c為常數(shù)）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．3．（11眉山）如圖，在直角坐標系中，已知點A（0，1），B（﹣4，4），將點B繞點A順時針方向90176。得到點C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，∴OD＝AD＋OA＝5，∴C點坐標為（3，5）；（2）設(shè)P點坐標為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖，∵點P在拋物線y＝x2上，∴b＝a2，∴d1＝a2，∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝a2﹣1，PF＝a，在Rt△PAF中，PA＝d2＝＝＝a2＋1，∴d2＝d1＋1；（3）由（1）得AC＝5，∴△PAC的周長＝PC＋PA＋5＝PC＋PH＋6，要使PC＋PH最小，則C、P、H三點共線，∴此時P點的橫坐標為3，把x＝3代入y＝x2，得到y(tǒng)＝，即P點坐標為（3，），此時PC＋PH＝5，∴△PAC的周長的最小值＝5＋6＝11．1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫
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