有限單元法基礎(chǔ)介紹-閱讀頁(yè)
2025-03-08 10:21本頁(yè)面
【正文】 00000???????????????????? 局部坐標(biāo) , 與整體坐標(biāo) x,y之間的位移 與 之間存在如下變換關(guān)系： x y? ?? ??? 式中，轉(zhuǎn)換矩陣 c o s , s in? ? ? ???2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題） ? 局部坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力 與整體坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力 之間的關(guān)系為： 其中， i點(diǎn) 節(jié)點(diǎn)力 22222222e AEKl? ?? ? ???? ? ?? ?? ?? ? ???? ? ?? ??? ???????????????Ti i j jF U V U V??? ??FF?? 得出： Ti i j jF U V U V??? ??? 局部坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力 eFK??1 eeF K K? ? ? ????其反映單元節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)力關(guān)系，稱為單元?jiǎng)偠确匠?。該?jié)點(diǎn)承受水平和垂直載荷分別為 Xi和 Yi，即 22ii jjAEKKl? ???? ?????????ij ji iiK K K? ? ?? 節(jié)點(diǎn)平衡方程與整體剛度矩陣 ? ?Ti i iP X Y?2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題） ? 根據(jù)力的平衡原理，節(jié)點(diǎn)受力平衡方程為： 桿單元 ij在節(jié)點(diǎn) i的節(jié)點(diǎn)力為： 00i ij im ipi ij im ipX U U UY V V V? ? ? ?? ? ? ?ijij ii i ij jijUF K KV ????? ? ????? 其它單元施于結(jié)點(diǎn) i的節(jié)點(diǎn)力為： i i i i j j i m m i p p ieK K K K P? ? ? ??? ? ? ? ?????? 其它節(jié)點(diǎn)都有以上平衡方程，對(duì)于全部節(jié)點(diǎn) i＝ 1,2,…,N 的結(jié)構(gòu) ,得到 2N階線性方程組 KP? ? 其中， ? ?12, , . . . ,TN? ? ? ??? ?12, , . . . , TNP P P P?，為全部節(jié)點(diǎn)位移組成的列陣； ，為全部節(jié)點(diǎn)載荷組成的列陣； K ，為整體剛度矩陣。 結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣 與單元?jiǎng)偠染仃? 之間的關(guān)系為 ()e T e eeK G K G? ?[]eK[]K 其中， 為單元大域變換矩陣，對(duì)平面珩架結(jié)構(gòu)，單元自由度 m=4,節(jié)點(diǎn)自由度 h＝ 2，整個(gè)結(jié)構(gòu)有 n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該單元大域變換矩陣為 m (hn)維。 ? 邊界上的節(jié)點(diǎn)通常有兩種情況： ? 一種可以自由變形，如圖中 8；如果節(jié)點(diǎn) 3作用外載荷 Q，可以令該點(diǎn)的載荷為 Q； ? 另一種邊界上的節(jié)點(diǎn)，已經(jīng)規(guī)定了節(jié)點(diǎn)的位移數(shù)值。 aP bp 只要已給出的位移 足以阻止結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)，則子矩陣 將是非奇異的，可以解出未知的節(jié)點(diǎn)位移： b? aaK1 ()a a a a a b bK P K????? 進(jìn)而求出未知支點(diǎn)反力： 11() TTb b b a b a a a b b a b a a aP K K K K K K P???? ? ? 但在有限單元法中，未知量的個(gè)數(shù)通常有幾百個(gè)，甚至幾十萬(wàn)個(gè)，一般利用計(jì)算機(jī)求解。 , , ( )idF F P t eF? 彈性矢量可用節(jié)點(diǎn)位移 和剛度矩陣 表示為： eFK??K?? 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可用質(zhì)量矩陣 和節(jié)點(diǎn)加速度 表示慣性力如下： M22t???22iFM t?????? 設(shè)結(jié)構(gòu)具有粘滯阻尼，可用阻尼矩陣 和節(jié)點(diǎn)速度 表示阻尼力如下： dFC t?????Ct???? 得到運(yùn)動(dòng)方程： 22 ()M C K P ttt?? ???? ? ???()M C K P t? ? ?? ? ?即 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題） ? 單自由度系統(tǒng)的阻尼 ? 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為： 式中， 質(zhì)量； 阻尼系數(shù)； 為剛度系數(shù)； 為位移。 0m c k? ? ?? ? ?k ? 其中， 稱為阻尼比， 為系統(tǒng)的自振頻率（角頻率）。 0 .0 1 ~ 0 .2? ?d???2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題） ? 結(jié)構(gòu)自振頻率與振型 ? 結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程為： 實(shí)際中，阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率和振型影響不大，因此可忽略阻尼力，得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程： ? 設(shè)結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)： 0M C K? ? ?? ? ?c o s t? ? ??2( ) 0KM????1 2 3 ... n? ? ? ?? ? ? ? 對(duì)于每個(gè)自振頻率，可確定一組各節(jié)點(diǎn)的振幅值 它們之間應(yīng)保持固定的比值，但絕對(duì)值可以任意變化，它們構(gòu)成一個(gè) 矢量，稱為 特征矢量 ，在工程上通常稱為 結(jié)構(gòu)的振型
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