概率論第一章課上例題-閱讀頁
2025-02-04 07:38本頁面
【正文】 知 ，． 950)( ?CAP ，． 900)( ?CAP又已知某地居民的肝癌發(fā)病率為 ．． 00 040)( ?CP在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性的人，求這批人中真的患有肝癌的概率 ．)( ACP解 ,)( ?CAP因為,)()( ??? CPCP,)(1)( ??? CAPCAP由 貝葉斯公式得所求概率為 )()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP?? .0 0 3 ?即平均 10000個經(jīng)甲胎蛋白檢驗為陽性的人中大約只有 38人患有癌癥，此表明真正患有肝癌的人還是很少的 . 注： 由已知可看出，當(dāng)病人患肝癌或未患肝癌時，甲胎蛋白檢驗的準(zhǔn)確性應(yīng)該說是比較高的 .但是如果未知病人是否患肝癌，僅從甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性這一事實出發(fā)，來判斷病人是否患肝癌，則它的準(zhǔn)確性比較低（僅為 0． 0038 ）． 例 16 設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是,若 10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊 ,問擊落飛機的概率是多少 ? 射擊問題 解 ,名射手擊落飛機”為“第設(shè)事件 iA i設(shè)事 件 B 為“擊落飛機” , ,1021 AAAB ?????則.10,2,1 ??i)()( 1021 AAAPBP ?????)(1 1021 AAAP ???)()()(1 1021 APAPAP ???.)(1 10 ???)(1 1021 AAAP ?????? 注： 在實際應(yīng)用中 , 往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立 . 一般，兩事件沒有關(guān)聯(lián)或是關(guān)聯(lián)很弱，則認(rèn)為它們是相互獨立的．在本例中事件 Ai 之間就是相互獨立的 ． 例 17 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊 , 三人 擊中的概率分別為 , , , 飛機被一人擊中而被擊落的概率為 ,被兩人擊中而被擊落的概率為 , 若三人都擊中飛機必定被擊落 , 求飛機被擊落的概率 . 解 ,3,2,1, ?iiAi 個人擊中飛機表示有設(shè)A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機 , ,1 CBACBACBAA ???由于,)(,)(,)( ??? CPBPAP則)()()()()()()()()()( 1 CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP ???故得 ?????????.?,2 BCACBACABA ???因為)()()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAP ???.?)()( 2 BCACBACABPAP ???得, 3 ABCA ?由 )()( 3 ABCPAP ?得)()()( CPBPAP? ???因而 ,由全概率公式得飛機被擊落的概率為 ??????P.?.14.?伯恩斯坦反例 例 18 一個均勻的正四面體 ， 其第一面染成紅色 ， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色 ， 而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色 .現(xiàn)以 A ， B， C 分別 記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件， 問 A， B， C是否相互獨立 ? 解 由于在四面體中紅、 白、黑分別出現(xiàn)兩面， 因此 ,21)()()( ??? CPBPAP又由題意知 ,41)()()( ??? ACPBCPABP故有 因此 A， B， C 不相互獨立 . ???????????????,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件 A, B, C 兩兩獨立 . 由于 41)( ?ABCP ),()()(81 CPBPAP??兩兩獨立 相互獨立 注意 例 19 同時拋擲一對骰子 ,共拋兩次 ,求兩次所得點 數(shù)分別為 7與 11的概率 . 解 事件 A 為兩次所得點數(shù)分別為 7 與 11. 則有 )()( 2121 ABBAPAP ?? )() 2121 ABPBP ??)()()()( 2121 APBPBPAP ??366362362366 ???? .541?.2,17 ?iiA i 點”次得為“第設(shè)事件.2,111 ?iiB i 點”次得為“第設(shè)事件. .)4,3,2,1(,)(4,3,2,14,.)()(試求系統(tǒng)的可靠性個元件的可靠性為設(shè)第稱為串并聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)結(jié)按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式工作的元件個獨立設(shè)有如圖所示的可靠性或系統(tǒng)元件能正常工作的概率稱為或系統(tǒng)一個元件?ipii1 23 4例 20. 解 . 表示系統(tǒng)正常工作以 A.4321 AAAAA ??則有:, 得系統(tǒng)的可靠性由事件的獨立性)()()()( 43214321 AAAAPAAPAAPAP ???)()()()()()()()( 43214321 APAPAPAPAPAPAPAP ???.43214321 pppppppp ???,)4,3,2,1( 個元件正常工作表示事件第以 iiA i ?例 21 要驗收一批 (100件 )樂器 .驗收方案如下 :自該批樂器中隨機地取 3件測試 (設(shè) 3件樂器的測試是相互獨立的 ),如果 3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純 ,則這批樂器就被拒絕接收 .設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為 。 ,容由于這三種情況互不相:獲勝的概率為于是由獨立性得甲最終例 22． 甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p（ p≥1/2），問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨立． ).1(2 221 pppp ???,3, 局至少需比賽甲最終獲勝采用五局三勝制., 局而前面甲需勝二且最后一局必需是甲勝, 比賽四局例如 :則甲的勝局情況可能是“甲 乙 甲甲 ” , “乙 甲甲甲 ” , “甲甲 乙 甲 ” 。,21 12 ppp ?? 時當(dāng) .21,21 12 ??? ppp 時當(dāng). ,21 制有利對甲來說采用五局三勝時故當(dāng) ?p. 21,21都是相同的概率是兩種賽制甲最終獲勝的時 當(dāng) ?p
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