微積分ppt課件-閱讀頁
2025-02-03 21:34本頁面
【正文】 ) | , 2 si n 4 si n } ,63 D ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?∴ 在極坐標(biāo)系下 微積分 Ⅰ 49 第九章 重積分 解 ?? ???Dyxyxyxdd)πs i n(2222? 1Dπ2 201s in π4 d d?? ? ??? ??.4??12222s i n ( π )4 d dDxyxyxy?????例 15 計(jì)算二重積分 , 其中 ?? ??Dyxyxyxdd)πs i n (2222}.41|),{( 22 ???? yxyxD積分區(qū)域?yàn)? 積分區(qū)域 D 如右圖所示 . 由對稱性可知 微積分 Ⅰ 50 第九章 重積分 )(2)( 222222 yxayx ??? 2 c os 2 ,a????2 2 2 ,x y a a?? ? ? ?1D 例 16 求曲線 和 所圍成的圖形的面積 . )(2)( 222222 yxayx ??? 22 yx ?2a?解 ?積分區(qū)域 D 如右圖所示 . 由對稱性可知 ∵ 在極坐標(biāo)系下 ∴ 由 2 c o s 2aa???? ??? ???得兩曲線的交點(diǎn)為 ),6,( ?aA ?微積分 Ⅰ 51 第九章 重積分 ???1dd4Dyxπ6 2 c o s 204 d daa?? ? ?? ??).3π3(2 ?? a∴ 所求面積為 ???Dyx dd?π6 2 2 c o s 202 [ ] daa???? ?π6202 ( 2 c o s 2 1 ) da ?????微積分 Ⅰ 52 第九章 重積分 例 17 求球體 被圓柱面 = 2ax ( a 0 ) 所截得的 (含在圓柱面內(nèi)的部分 ) 立體的 體積 . 2222 4 azyx ??? 22 yx ?2 2 24 4 d d ,DV a x y x y? ? ? ???}.20 ,20|),{( 2xaxyaxyxD ??????xyz2a 2a DO解 所截立體如右圖所示 . 由對稱性知 , 所求體積為第一 卦限的 4 倍 , 其中 微積分 Ⅰ 53 第九章 重積分 π{ ( , ) | 0 , 0 2 c o s } .2Da? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????DyxyxaV dd44 222axyx 222 ??? 2 cos ,a????224 4 d dDa ? ? ? ?????π 2 c o s222004 d 4 da a?? ? ? ?????? ?? 2π033 d)s i n1(332 ??a ).322π(332 3 ?? a微積分 Ⅰ 54 第九章 重積分 )( )( ),( 22 yxxyyx ??? 或?說明 : 選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 , 對計(jì)算二重積分是很重要的 . 等類型的函數(shù)時(shí) , 一般說來 , 當(dāng)積分區(qū)域 D 是圓或圓的一部分、扇形、 環(huán)形 , 而被積函數(shù)是 利用極坐標(biāo)系來計(jì)算較為簡單 . 微積分 Ⅰ 55 第九章 重積分 三、小結(jié) .d),(dd),( )()(21????? xxbaDyyxfxyxf ???21()()( , ) d d ( , ) d .dycyDf x y y f x y x??? ??? ? ?二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式 [ X－型 ] [ Y－型 ] (在積分中要正確選擇 積分次序 ) 微積分 Ⅰ 56 第九章 重積分 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式 ( c o s , si n ) d dDf ? ? ? ? ? ? ???21()()d ( c o s , s in ) d .f? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ??()0d ( c o s , s in ) d .f? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??2 π ()00d ( c o s , s in ) d .f??? ? ? ? ? ? ?? ???????(在積分中注意使用 對稱性 ) 微積分 Ⅰ 57 第九章 重積分 思考題一 設(shè) f (x) 在 [0, 1] 上連續(xù) , 并設(shè) , 求 Axxf ?? 10 d)(.d)()(d 110 ?? x yyfxfx微積分 Ⅰ 58 第九章 重積分 思考題一解答 解 ??? y xyfxfy 010 d)()(d?? 110 d)()(d x yyfxfx?,d)()(d 010 ??? x yyfxfxxyoDxy?11不能直接積出 , ? 1 d)(x yyf?∴ 必須改變積分次序 . 積分區(qū)域 D 如右圖所示 . 微積分 Ⅰ 59 第九章 重積分 ??? 110 d)()(d x yyfxfx]d)()(dd)()(d[21010110 ?????? xxyyfxfxyyfxfx??? 1010 d)()(d21 yyfxfx210]d)([21 ?? xxf??? 1010 d)(d)(21 yyfxxf.21 2A?微積分 Ⅰ 60 第九章 重積分 思考題二 交換積分次序 : ).0(d),(dc os02π2π ?? ??? arrfIa ???微積分 Ⅰ 61 第九章 重積分 思考題二解答 ara r c c o s???o xy?cosar ?Daara r c c o s??a r c c o s ra?.d),(dar c c osar c c os0 ?? ?? arararfrI ??若先對 θ 積分 , 則當(dāng) r 從 0 .c o s02π2π:????????????arD變到 a 時(shí) , 對于每一個(gè)固定的 r, θ從 變到 a r c c o s .ra于是 積分區(qū)域 D 為
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