【正文】 y(2kp+p)=(2kp+p)cos(2kp+p=0(k=0, 1, 2, ), 222對任何大的N, 當k充分大時, 總有x=2kp+pN, 但|y(x)|=0M. 2 7. 證明: 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當x174。0+ 時, 函數(shù)y=1sin1不是無窮大. 這是因為 xxM0, 對所有的d0, 總可以找到這樣的點xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取xk=1(k=0, 1, 2, ), 2k當k充分大時, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M.習題151. 計算下列極限:x2+5 (1)lim。2x322x+52=+5=9. 解 limx174。 x174。x+1()2+118(3)limx22x+1。1x12(x1)2x2x+1x1=0=0. =lim=lim 解 limx174。1(x1)(x+1)x174。 x174。03x2+2xx174。 h174。0h174。0hh(6)lim(21+1)。165。165。165。165。 x174。2xx111x1=lim=1. 解 lim2x174。2xx1x174。21122xx22x+x (8)lim4。165。165。165。165。 x174。4x5x+4x174。4x141319 (10)lim(1+121)。165。2=2. 解 lim(1+121)=lim(1+x174。xxx174。xx174。x (11)lim(1+1+1+ +1)。165。165。165。 n174。n(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=limn174。n174。2n174。n2n2n2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。165。165。165。165。 x174。11x1xx174。1(1x)(1+x+x)1+x+x)=lix+22=1. x174。 x174。. 解 因為lim3x174。2(x2)22x (2)lim。165。 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。解 lim(2x3x+1)=165。165。 x174。0時, x2是無窮小, 而sin1是有界變量). x174。165。165。165。165。 x174。2x3232x3 (2)。x+12()23x3 解 ==0. 2x174。 2x174。1x174。1x+12x2121 4x32x2+x。03x2+2x3224x2x+x4x2x+1=1=lim 解 lim. x174。03x+22 (4)lim(x+h)2x2 (5)lim。0h222(x+h)2x2x+2hx+hx=lim=lim(2x+h)=2x. 解 limh174。0h174。 x174。xx21+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。x174。xx174。x2xx2x21lim (7)。165。165。165。 x174。x43x212x+x=0 解 lim4(分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). x174。x3x21 (8)lim1+1x2+x=lim23=0或 lim. x174。x3x1x174。124xx(9)limx26x+8。4x5x+42x6x+8=lim(x2)(x4)=limx2=42=2 解 lim2. x174。4(x1)(x4)x174。 2x174。xx1lim(21)=1180。165。165。165。 n174。242n22 1(1)n+1解 lim(1+1+1+ +1)=lim=2. n174。242nn174。12(12)lim1+2+3+ +(n1)。165。165。165。165。 n174。5n3(n+1)(n+2)(n+3)1= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 解 limn174。55n3最高次項系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+2)(1+3)=1=lim(1+或 lim. 3n174。n174。5nnn55n(14)lim133)。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) =lim 解 limx174。1(1x)(x174。11+x+x2. 計算下列極限:32x+2x (1)lim。2(x2)232(x2)20x+2x==0, 所以lim=165。2x+2x16x174。 x174。2x+12x=165。165。165。(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。23 3. 計算下列極限:(1)limx2sin1。0x解 limx2sin1=0(當x174。0xx(2)limarctanx. x174。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當x174。時, 1是無窮小, x174。x174。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習題 171. 當x174。02xxx174。0時, x2x3是高階無窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當x174。11xx174。11x所以當x174。11x2x174。1時, 1x和1(1x2)是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 23. 證明: 當x174。x2secx1~ (2). 2y=1(提示: 令y=arctan x, 則當x174。0y174。0),所以當x174。02x174。0x174。0時, sec24. 利用等價無窮小的性質, 求下列極限:(1)limtan3x。02x2sin(xn) (2)lim(n, m為正整數(shù))。0(sinx)msinx。0sin3x(4)limsinxtanx. x174。02xx174。239。0 nm. (2)limmx174。0x239。165。0x174。0cosxsinxx174。0), 2222x1x2(x174。0), +sinx+125 1x3sinxtanx所以 lim=li=3. x174。0x2x3 5. 證明無窮小的等價關系具有下列性質:(1) a ~a (自反性)。(3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性).證明 (1)lima=1, 所以a ~a 。 bab (3) 若a ~b, b~g, lima=limlima=1. 因此a~g. 習題181. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形:236。x163。 2x 1x163。解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2] 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且f(x)=lim(2x)=1. f(x)=limx2=1, lim lim++x174。1x174。1所以limf(x)=1, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. x174。x 1163。1 (2)f(x)=237。解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性.在x=1處, 因為f(1)=1, 并且limf(x)=lim1=1185。1x174。1x174。1x174。1x174。, 1)和(1, +165。 x3x+22(x+1)(x1)x 解 y=1=. 因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義, 所以x=2和x3x+2(x2)(x1)x=1是函數(shù)的間斷點.2x1=165。 x174。2x3x+2因為limy=limx174。1(x2)點. 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的.(2)y=x, x=k, x=kp+p (k=0, 177。2, )。Z)和x=kp+ p(k206。(k185。0)是第二類間斷點。kptanx因為limx=1, x174。kp+p2x=0(k206。Z) 是第一tanx2類間斷點且是可去間斷點.令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。 x27 解 因為函數(shù)y=cos21在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)y=cos21的間斷點. xx又因為limcos21不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點. x174。x1 x163。, x =1. 3 x x1238。1x174。1x174。165。x |x|12n239。0 |x|=1. n174。1+x2n239。x |x|1在分段點x=1處, 因為limf(x)=lim(x)=1, lim+f(x)=lim+x=1, 所以x174。1x174。1x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點.f(x)=lim(x)=1, 所以x=1 在分段點x=1處, 因為limf(x)=limx=1, lim++x174。1x174。1為函數(shù)的第一類不可去間斷點.4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)185。U(x0)時, f(x)185。gt。x0部保號性定理, 存在x0的某一去心鄰域U(x0), 使當x206。gt。U(x0)時, f(x)amp。0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。0. 5. 試分別舉出具有以下性質的函數(shù)f(x)的例子:(1)x=0, 177。2, 177。n, 177。p 解 函數(shù)f(x)=csc(px)+在點x=0, 177。2, 177。n, 177。28oo236。Q 解 函數(shù)f(x)=237。Q238。Q236。在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). x x207。習題1932x+3xx3 1. 求函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間, 并求極限limf(x), limf(x)及x174。3x+x6limf(x). x174。, +165。, 3)、(3, 2)、(2, +165。02在函數(shù)的間斷點x=2和x=3處,limf(x)=limx174。, limf(x)=limx174。3x174。x0x174。x0x174。x0x174。x02x174。 x174。x174。x174。 x174。 x174。 x174。+165