【正文】 2）存在1條直線與曲線相切.101.【2014；2176。存在，滿足.由，即，解得，而此時，取，滿足，且；取，滿足，且.所以，的取值范圍是.（Ⅱ）證明：由，有.設，由，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 并且，當時，；當時，.由已知，滿足，. 由，及的單調(diào)性，可得，. 對于任意的，設，其中；，其中.因為在上單調(diào)遞增，故由，即，可得；類似可得.又由，得.所以，隨著的減小而增大.（Ⅲ）證明：由，可得，.故.設，則，且解得，.所以，. ①令，則.令，得.當時，.因此，在上單調(diào)遞增，故對于任意的，由此可得，故在上單調(diào)遞增.因此，由①可得隨著的增大而增大.而由（Ⅱ），隨著的減小而增大，所以隨著的減小而增大.102.【2014福建卷（理20）】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為1.（I）求的值及函數(shù)的極值；（II）證明：當時，；（III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當，恒有.【解析】本小題主要考查導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、全稱量詞等基礎知識的考查運用，考查抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想等。解法一：（I）由，, 單調(diào)遞減。福建卷（文20）】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.（Ⅰ）求的值及函數(shù)的極值；（Ⅱ）證明：當時，（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在，使得當時，恒有【解析】解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以當時，有極小值，且極小值為，無極大值.（2）令，則.由（1）得，即.所以在R上單調(diào)遞增，又，所以當時，即.（3）對任意給定的正數(shù)c，取，由（2）知，當時，.所以當時，即.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只需，即成立.①若，則，易知當時，成立.即對任意，取，當時，恒有.②若，令，則，所以當時，在內(nèi)單調(diào)遞增.取，易知，所以.因此對任意，取，當時，恒有.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）①若，取，由（2）的證明過程知，所以當時，有，即.②若，令，則，令得.當時，單調(diào)遞增.取，易知，又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當時，恒有，即.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.注：對c的分類可有不同的方式，只要解法正確，均相應給分。遼寧卷（理21）】已知函數(shù)，.證明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且對（1）中的.（Ⅰ）當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.（Ⅱ）考慮函數(shù)，令，則時，記，則 ，由（Ⅰ）得，當時，當時，.在上是增函數(shù)，又，從而當時，所以在上無零點.在上是減函數(shù)，由，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因為當時，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.因，所以106.【2014陜西卷（理21）】設函數(shù)，其中是的導函數(shù).（1） ，求的表達式；（2） 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，比較與的大小，并加以證明.【解析】，（1），即，當且僅當時取等號當時，當時，即數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，當時，（2）在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立令，即恒成立，令，即，得當即時，在上單調(diào)遞增，所以當時，在上恒成立；當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以設，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減所以，即，所以不恒成立綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（3）由題設知：，比較結果為：證明如下：上述不等式等價于在（2）中取，可得令，則，即故有上述各式相加可得：結論得證.108.【2014湖南卷（理22）】已知常數(shù)（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點且求的取值范圍．【解析】（I）=當1時，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增。綜上所述當時，在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞增；當0＜＜1時，在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，）上單調(diào)遞增（II）由（）式知。又的極值點只可能是和，且由的定義可知，＞且—2，所以＞。此時，由（）式易知，分別是的極小值點和極大值點，而=（）+（1+） = =—=+令21=x,由0＜＜1且知當0＜＜時,1＜x＜0。0＜x＜1記（x）=ln+2(i) 當1＜x＜0時，（x）=2ln(x)+ 2，所以（x）==＜0因此，（x）在區(qū)間（1,0）上單調(diào)遞減，從而（x）＜（1）=4＜0，故當0＜＜時，；（ii）當0＜x＜1時，（x）=2lnx+2,所以，因此（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，從而（x）＞（1）=＜＜1時，綜上所述。湖南卷（文21）】已知函數(shù).（1） 求的單調(diào)區(qū)間；（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有（I）數(shù)求導可得,令可得,當時,.此時。當時,。江西卷（理18）】已知函數(shù).（1）當時，求的極值；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.【解析】（1）當時，由得或當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故在取極小值，在取極大值4.（2）因為當時, 依題意當時，有，從而所以b的取值范圍為112.【2014 （2）若在區(qū)間上的最小值為8，求的值.當時，由，得或，由得或，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）因為，a0，由 得或，當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，易知=（2x+a）2，且當時，即2a0時，在上的最小值為，由=4+4a+a2=8，得a=均不符合題意當時，即，在上的最小值為不符合題意當時，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，當時，在上單調(diào)遞減，在上的最小值為符合題意。湖北卷（理22，文8（Ⅰ）、（Ⅱ））】為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù). （Ⅲ）將，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論。四川卷（理21）】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。若，則令（）則。四川卷（文21）】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。【解析】本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、函數(shù)的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想，并考查思維的嚴謹性.（Ⅰ）①當時，所以.②當時，由得.若，則；若，則.所以當時，在上單調(diào)遞增，所以.當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當時，在上單調(diào)遞減，所以.（Ⅱ）設為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由可知，在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.則不可能恒為正，.同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點. 由（Ⅰ）知，當時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點.當時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點.所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，必有.由得：，有.解得.所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點時，.116.【2014重慶卷（文19）】已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于 （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。廣東卷（理21）】設函數(shù)，其中。【解析】解：（１）可知，或，或，或，或或，所以函數(shù)的定義域D為；（２），由得，即，或，結合定義域知或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，同理遞減區(qū)間為，；（３）由得，，或或或，，結合函數(shù)的單調(diào)性知的解集為．119．【2014（2）當時,試討論是否存在,使得.