恒成立、存在性問題集錦-閱讀頁(yè)
2025-01-25 15:59本頁(yè)面
【正文】 況如下表： 當(dāng) ]21,21[??x時(shí)， 0)( ?xf 等價(jià)于 ??????????0)21(0)21(ff ，解得55 ??? a ∴ 20 ??a （ 2）若 2?a ，則 2110 ??a 。 ∵ 02 63)( 42 ????? xxxg ∴ )(xg 在區(qū)間 ]21,0(上是增函數(shù)， 5)21()]([ m ax ??? gxg，則 5??a 。 綜上， 55 ??? a ， ∵ 0?a ∴ a 的取值范圍是（ 0,5） 例 3． 已知 Ra? ,不等式 axx ?? )1(ln 在區(qū)間 1),(0 上恒成立 ,求 a 的取值范圍 . 解： 設(shè) axxxf )1(ln)( ?? ， 1 )1()( ??? x aaxaxf （ 1） 若 0?a ， 0)( ?? xf ，函數(shù) )(xf 為增函數(shù)，則在區(qū)間 1),(0 上 0)0()( ?? fxf ∴ axx ?? )1(ln ∴ 不等式 axx ?? )1(ln 在區(qū)間 1),(0 上 不 恒成立。 （ 4）若 1?a ，則 在區(qū)間 1),(0 上 0)( ?? xf ， 函 數(shù) )(xf 為減函數(shù) ∴ 0)0()( ?? fxf ∴ axx ?? )1(ln ，∴區(qū)間 1),(0 上不等式 axx ?? )1(ln 恒成立。 注：用分離參數(shù)法無(wú)法解決。 （ 1）求 a 的值； （ 2）若對(duì)任意的 ),0[ ???x 有 2)( kxxf ? 成立，求實(shí)數(shù) k 的最小值。 （ 2） 當(dāng) 0?k 時(shí)，取 1?x ，有 02ln1)1( ??f ，故 0?k 不合題意 。從而對(duì)任意的 ),0[ ???x ，總有 0)0()( ?? gxg ，即 2)( kxxf ? 在 ),0[ ?? 上恒成立。 2． 當(dāng)210 ??k時(shí)， 0221 ?kk，對(duì)于 0),2 21,0( ??? (x)gk kx，故 )(xg 在 )221,0( kk上單調(diào)遞增 。 ∴210 ??k不合題意。 恒成立問題 （或存在性問題） 可分三種情況， 1． 分離參數(shù)，這是最簡(jiǎn)單的； 2．需分類討論的分離參數(shù)，各種情況求出的參數(shù)范圍應(yīng)求交集； 3．以上二法均不能解決，則用例 3或例 4 的方法 （作差，改變函數(shù)形式以利于
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