常微分方程第2章習題答案-閱讀頁
2025-01-25 04:03本頁面
【正文】 亦即 0)()( ???? dyyxdxyx ， 所以所求等角軌線族為 cxyyx ??? 222 ． （３）． axxy ln? ； 解：由方程得：??? ???? 0)1(l nln dxaxdy axxy，消去 a 有 : xyxdxdy ?? , 則所求等角軌線的微分方程為 ??45)(145tgx yxtgx yxdxdy????? ， 亦即 0)2( ??? ydydxyx ， 所以所求等角軌線族為 cx xyar c tgyxyx ????? )272(72)2l n( 22 （４）． axy 42 ? ． 解：由方程得：??? ??? 042 42 adxydy axy ，消去 a 有 : xydxdy 2? , 則所求等角軌線的微分方程為 ??45)2(1452tgxytgxydxdy??? ， 亦即 0)2()2( ???? dyyxdxyx ， 所以所求等角軌線族為 cx xyar c tgyxyx ????? )272(76)2l n( 22 3. 給定雙曲線 cyx ?? 22 ，（其中 c 為任意常數）．設有一個動點 P 在平面 ),( yx 上移動，它的軌跡與和它相交的每條雙曲線均成 ?30 角，又設此動點從 )1,0(0P 出發(fā)，試求這動點 的軌跡． 解：由題意知，此軌跡即為與雙曲線 cyx ?? 22 相交成 ?30 角的曲線族． 由方程得：??? ?? ?? 022 22 ydyxdx cyx ， 消去 c有 : yxdxdy? 則所求軌線的微分方程為 ??30130tgyxtgyxdxdy??? ，所以所求軌線族為 cxyyx ??? 32323 22 ， 又因為此軌跡過 )1,0(0P 點， 所以23??c ， 所以所求軌跡為 033233 22 ???? xyyx ． 4. 追線：在 xoy 平面上，有某物 P 從原點出發(fā)，以常速 0?a 沿 x軸 的正方向運動．同時又有某物 Q 以常速 b 從點 )1,0( 出發(fā)追趕．設ab? ， 且 Q 的運動方向永遠指向 P．試求 Q 的運動軌跡，以及追上 P的時間． 解：設 Q 的運動軌跡為 )(xyy? ，由題意知 )(xyy? 即是下列初值問題的解． ?? 2baydydx 2bay? ， 0)1(?x ， 此方程 為一變量分離方程，解之得： ???? ?)1(211bayx ba)1(211bay ba??? ． 當 QP, 在 T時刻相遇時，即有 0)( ?aTx , 代入其軌跡方程求得：)(2 22 ab bT ??． 5. 逃逸速度：假設地球的半徑為 6437?R 公里，地面上的重力加速度為2/ 秒米 ， 又設質量為的火箭在地面以 初速 0v 垂直上升，假設不計空氣阻力和其它任何星球 的引力．試求火箭的逃逸速度，即：使火箭一去不復返的最小初速度 0v ． 解：由物理學知識知，此逃逸速度滿足下列式子： RmvRgmM202 ?（其中 M 為地球的質量） 將數據代入上式求得： ?v （公里／秒）． 6. 設某社會的總人數為 N ，當時流行一種 傳染病，得病人數為 x ．設傳染病人數的擴大率與得病人數和未得病人數的乘積成正比．試討論傳染病人數的發(fā)展趨勢，并以此解釋對傳染病人進行隔離的必要性． 解：設傳染病人數是時間 t 的函數，并設題中的正比例系數為 p. 則由題意得： ))()(()( txNtpxtx ??? 此方程為一變量分離方程，分離變量并積分得： pNtpNtcecNetx ?? 1)( 又 因 為 最 初 得 病 人 數 為 x ， 所 以 xx ?)0( ， 代 入 求 得 xNxc ?? ， 所以傳染病人數的發(fā)展趨勢可表示為： pNtpNtexN xNexN xtx????1)( ，（其中 x 為最初得病人數）． 由上式我們可以看出，當 ???t 時， Ntx ?)( ，所以及時對傳染病人 進行隔離是必要的．
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