【正文】 如圖 4，在一塊形狀為直角梯形的草坪中，修建了一條由 A→M→N→C 的小路（ M、 N分別是 AB、 CD 中點） .極少數(shù)同學為了走 “ 捷徑 ” ，沿線段 AC行走，破壞了草坪， 實際上他們僅少走了圖 4 A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 A D B C E F （第 7 題） A B C D E F 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 【答案】 B 16．（ 2022湖南婁底） 下列說法中錯誤的是（ ） A. 平行四邊形的對角線互 相平分 B. 矩形的對角線互相垂直 C. 菱形的對角線互相垂直平分 D. 等腰梯形的對角線相等 【答案】 B 1二、填空題 1．（ 2022甘肅蘭州） 如圖，直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB⊥ BC， AD = 2，將腰 CD 以 D為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。 BC=12，則梯形 ABCD 的周長為 ▲ . DCBA 【答案】 30 3．（ 2022 湖南長沙） 等腰梯形的上底是 4cm，下底是 10cm，一個底角是 60 ，則等腰梯形的腰長是 cm． 60 176。 BD⊥ DC， BD=DC，CE 平分∠ BCD，交 AB 于點 E，交 BD 于點 H， EN∥ DC 交 BD 于點 N，下列結論：① BH=DH；②CH=? ?21? EH；③EBHENHS EHS EC?? ?.其中正確的是（ ） A、①②③ B、只有②③ C、只有② D、只有③ 【答案】 B 7． （ 2022湖南懷化） 如圖 5，在直角梯形 ABCD中， AB∥CD ， AD⊥CD ， AB=1cm， AD=6cm， CD=9cm，則 BC= cm． 【答案】 10 8． （ 2022 江蘇揚州） 如圖，在直角梯形 ABCD 中， ∠ ABC＝ 90176。若 AB=10， AD=4， DC=5，則梯形 ABCD的面積為 。, AB＝ 2,CD＝ 3 ,則 AD的長為（ ） A. 323 D. 32 圖 6 D C B A B A 圖 1 C E D F 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 【答案】 C 三、解答題 1． （ 2022安徽蕪湖 ）（本小題滿分 8分）如圖，直角梯形 ABCD中， ∠ ADC＝ 90176。 AB CD 【答案】 證明： ∵ 梯形 ABCD是等腰梯形， ∴∠ B＝ ∠ C 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ A＋ ∠ B＝ 180176。 3． （ 2022江蘇南京 ）（ 7 分）如圖，四邊形 ABCD的對角線 AC、 BD 相較于點 O，△ ABC≌△ BAD。 ∴∠ DBC=30186。 3 =3 3 （ cm2）????????? ??????（ 8分） （其它解法仿此得分） 5．（ 2022江蘇鹽城） （本題滿分 12 分）如圖 1所示，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB⊥ BC，∠ DCB=75186。． 求 DFFC 的值． B A C D B A C D F （第 22 題圖） 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 【答案】 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 6． （ 2022 重慶） 已知：如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， 90ABC? ? ? ．點 E 是DC 的中點，過點 E 作 DC 的垂線交 AB 于點 P ，交 CB 的延長線于 點 M ．點 F 在 線段 ME上，且滿足 ADCF? ， MF MA? ． 全品中考網(wǎng) （ 1）若 ?120??MFC ，求證： MBAM 2? ； （ 2）求證： F CMMP B ???? 2190 ? ． 【答案】 證明：（ 1）連結 MD ． （ 2分 ） 又 ∵ AD CF? ， MF MA? ， ∴ AMD? ≌ FMC? ． （ 4分 ） ∵ AD ∥ BC ， 90ABC? ? ? ． ∴ 90BAD? ? ? ， ∴ 30MAB? ? ? ． （ 5分 ） 在 Rt AMB? 中， 30MAB? ? ? ， ∴ 12BM AM? ，即 2AM BM? ． （ 6分 ） （ 2） ∵ AMD? ≌ FMC? ， ∴ ADM FC M? ? ? ． ∵ AD ∥ BC ， ∴ ADM CMD? ?? ． ∴ CMD FC M? ?? ． EC=2BE，求證： ED⊥ DC. 【答案】 證明： (1)如圖∵ AB=AD，AE為∠ BAD的平分線，∴ BG=DG, ∵ AD//BC，∴∠ ADG=∠ GBE,∠ DAG=∠ GEB∴Δ ADG≌Δ EGB,∴ AG=GE, ∴四邊形 ABED為平行四邊形，∵ AB=AD，∴四邊形 ABED是菱形 . （ 2）∵四邊形 ABED 是菱形 , ∠ ABC＝ 60176。 ,∠BGE=90176。 ,∵ DE∥ AB,∴∠ DEC=∠ABC=60176。 ,∴ ED⊥ DC. A D C B M BA DC圖 7 GEDCBA 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 9． （ 2022重慶綦江縣） 如圖，直角梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ A＝ 90176。 ＝∠ GDC＋∠ EDG ∴∠ ADE＝∠ GDC 又∵∠ A＝∠ DGC且 AD＝ GD ∴△ ADE≌△ GDC ∴ DE＝ DC且 AE＝ GC 在△ EDF和△ CDF 中 ∠ EDF＝∠ CDF， DE＝ DC， DF 為公共邊 ∴△ EDF≌△ CDF（ SAS） ∴ EF＝ CF GFEDCBA （ 2）∵ tan∠ ADE＝ 13AEAD? ∴ AE＝ GC＝ 2 設 EF＝ x，則 BF＝ 8－ CF＝ 8－ x， BE＝ 4 由勾股定理 x2＝ 28 x（ － ） ＋ 42 解得： x＝ 5，∴ EF＝ 5． 10．（ 2022 江蘇連云港） （本題滿分 10 分）如果一條直線把一個平面圖形的 面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．如，平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線． （ 1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有________； （ 2）如圖 1，梯形 ABCD中， AB∥ DC，如果延長 DC到 E，使 CE＝ AB，連接 AE，那么有 S梯形 ABCD＝ S△ ABE．請你給出這個結論成立的理由，并過點 A 作出梯形 ABCD 的面積等分 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) AD BAD EBAD CFEBAD DQFEBAD 圖 1 AD BAD CFEBAD DQFEBAD 圖 2 線（不寫作法，保留作圖痕跡）； （ 3）如圖，四邊形 ABCD中， AB 與 CD 不平行， S△ ADC＞ S△ ABC，過點 A能否作出四邊形 ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由． 【答案】 11．（ 2022 河北） 如圖 16，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， 90B? ? ? ， AD = 6， BC = 8，33?AB ，點 M是 BC 的中點．點 P從點 M出發(fā)沿 MB以每秒 1個單位長的速度向點 B 勻速運動，到達點 B后立刻以原速度沿 BM返回；點 Q從點 M出發(fā)以每秒 1個單位長的速度在射線 MC上勻速運動．在點 P， Q的運動過 程中，以 PQ為邊作等邊三角形 EPQ，使它與梯形 ABCD在射線 BC的同側．點 P， Q同時出發(fā)，當點 P返回到點 M時停止運動，點 Q也隨之停止． 設點 P， Q運動的時間是 t秒 (t＞ 0)． （ 1）設 PQ的長為 y，在點 P從點 M向點 B運動的過程中，寫出 y與 t之間 的函數(shù)關系式（不必寫 t的取值范圍）． （ 2）當 BP = 1 時，求△ EPQ與梯形 ABCD重疊部分的面積． （ 3）隨著時間 t的變化，線段 AD 會有一部分被△ EPQ 覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能， 直接 ． ． 寫出 t的取值范圍；若不 能，請說明理由． 【答案】 解：（ 1） y = 2t； （ 2）當 BP = 1時，有兩種情形： ①如圖 6，若點 P從點 M向點 B運動，有 MB = BC21= 4， MP = MQ = 3， ∴ PQ = 6．連接 EM， ∵△ EPQ是等邊三角形，∴ EM⊥ PQ．∴ 33?EM． ∵ AB = 33，∴點 E在 AD上． ∴△ EPQ與梯形 ABCD重疊部分就是△ EPQ，其面 積為 39． ② 若 點 P 從點 B向點 M運動，由題意得 5?t． PQ = BM + MQ ?BP = 8， PC = 7．設 PE 與 AD 交于點 F， QE 與 AD 或AD的 延長線 交于點 G，過點 P 作 PH⊥ AD 于點 H，則 HP = 33， AH = 1 ．在 Rt △ HPF 中，∠ HPF = 30176。 ， （ 1）求 ∠ ABD的度數(shù)； （ 2）若 AD＝ 2，求對角線 BD的長． 【答案】（ 1） ∵ DC∥ AB， AD＝ BC， ∴ 梯形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠ ABC＝ ∠ A＝ 60176。 ． （ 2） ∵∠ A＝ 60176。 ， ∴∠ ADB＝ 90176。 E、 F分別是線段 OA、 AB上的兩動點，且始終保持∠ DEF=45176。 ,又在梯形 DOAB中，∠ BAO=45176。 ,又∠ 2=∠ DEA45176。 , ∴△ AEF為等腰直角三角形 .D在 A’ E上（ A’ E⊥ OA） , B在 A’ F上（ A’ F⊥ EF） ∴△ A’ EF與五邊形 OEFBC 重疊的面積為 四邊形 EFBD的面積 . ∵ 22522324 ??????? CDOAOEOAAE ∴ 25222 2545s in 0 ????? AEAF 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 825)25(21AFEF21S 2A E F ?????? ∴ 4212 23)2252(21DEA E )(BD21A E D B ????????梯形S ∴ 817825421SSSA E FA E D BB D E F ??? ?梯形四邊形（也可用 BDA39。 SSS ???陰影 ） ②當 EF=AE時，如圖（ 3）， 此時△ A’ EF 與五邊形 OEFBC重疊部分面積為△ A’ EF 面積 . ∠ DEF=∠ EFA=45176。 ??? ?? 1)2(21S 2EFA / ???? ③當 AF=AE時，如圖（ 4），四邊形 AEA’ F為菱形且△ A’ EF 在五邊形 OEFBC內(nèi) . ∴此時△ A’ EF 與五邊形 OEFBC重疊部分面積為△ A’ EF面積 . 由（ 2）知△ ODE∽△ AEF,則 OD=OE=3 ∴ AE=AF=OAOE= 324 ? 過 F作 FH⊥ AE于 H,則 ? ? 2 2342232445s in ???????? AFFH ∴ ? ?4 482412 23432421FHAE21SS A E FEFA