【正文】 20 ( ) .nx f xM n n M f n Mnnf x f x n nnx f x? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???n鄰域內(nèi)都是無界的 但當(dāng) 時(shí) 不是無窮大量任取一個(gè)鄰域 和 取正整數(shù) 滿足 和 則故 在 x故當(dāng) 時(shí) 不是無窮大量證 12 111110 0 011 4 . l i m ( 1 ) l n ( 0 ) .1 l n1 , l n l n ( 1 ) , . l i m l i m 1 0 .l n ( 1 )l n ( 1 )l i m l i m l n ( 1 ) l n l i m ( 1 ) l n 1 ,ln( 1 ) l n ( ) .l n ( 1 )1 5 . ( ) ( )nnnnnnnnyyy y ynnnn x x xxx y x y n y xnyyy y eyyxn x x nyf x g x??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??證明令則注意到我們有設(shè) 及 在實(shí)軸上有證0 0 0 02022222 2 20 0 0 0. : ( ) ( ), , ( ) l i m ( ) l i m ( ) ( ) .1 c o s 11 6 . l i m .22 si n1 c o s 2 si n 1 si n 12l i m l i m l i m l i m 14 2 2n n nnnxx x y yf x g xx x x f x f x g x g xxxxx y yx x y y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?????定義且連續(xù)證明 若 與 在有理數(shù)集合處處相等, 則它們在整個(gè)實(shí)軸上處處相等.任取一個(gè)無理數(shù) 取有理數(shù)序列證明證證00110 0 00 0 0 001.2l n ( 1 )1 7 . : ( 1 ) l i m 1 。如 果 在解 , l 0 ,000 0 00||( ) [ [ ( ) l g( ) ] ( ) ] / .22. Di r i c hl e t .. , ( ) 1 。l i m ( ) , ( )11( 1 ) l i m 0 。2t a n 5 t a n 5 / 5( 3 ) l i m l i m 5.l n( 1 ) si n [ [ l n( 1 ) ] / ] si n / 1( 4) l i m ( ) l i m ( 1 ) .24. ( ) [ 0 , ) , 0 ( ) . 0 ,( ) , ( ) , , ( ) . {xxyxxynnxx x xx x x x x x xx y ey f x f x x aa f a a f a a f a?????????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù) 且滿足 設(shè) 是一任意數(shù) 并假定一般地 試證明11} , l i m .l i m , ( ) , ( ) .( ) , { } ( ) 0( 1 , 2 , ) , { }nnnnnn n n n n n naal a l f x x f l la f a a a a f a n a??????? ? ?? ? ? ? ?單調(diào)遞減 且極限 存在若 則 是方程 的根 即 單調(diào)遞減有下界,證 14 111l i m , l i m l i m ( ) ( l i m ) ( ) .25. ( ) ( , ) , :( 0) 1 , ( 1 ) , ( ) ( ) ( ) .( ) ( ( , ) ) .( ) ( ) ( ) . ( ) ( )n n n n nn n n nxnna l a l a f a f a f ly E xE E e E x y E x E yE x e xE x x E x E x E nx E x?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?故 則設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義且處處連續(xù) 并且滿足下列條件證明用數(shù)學(xué)歸納法易得 于是證11., ( ) ( 1 1 ) ( 1 ) .1 ( 0) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .( ) .1 1 1 1, ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .11( ) ( ) ( ) . ,nnnnnnnnmm mnnn E n E E eE E n n E n E n e E n E n eE n en E E n E n E e E E en n n nmE E m E e e r En n n?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ??????? ??設(shè) 是正整數(shù) 則于對于任意整數(shù)對于任意整數(shù)即對于所有有理數(shù)l im( ) ., , ( ) ,( ) l i m ( ) l i m ( ) .nnnrxx xxnnnrex x E xE x E x e e e e??? ? ? ???? ? ? ?n對于無理數(shù) 取有理數(shù)列x 由 的連續(xù)性的連續(xù)性 習(xí)題 201. ,. , .( ) 2 ( 0 )( 1 ) , 。 ( 2) 2 , 0 。 ( 2 ) 2 , ( 3 , 1 1 ) .( 1 ) 2 l n 2 , ( 0 ) l n 2 , 1 l n 2 ( 0 ) , ( l n 2 ) 1 .( 2 ) 2 , ( 3 ) 6 , : 1 1 6 ( 3 ) .4 . 2 ( 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy p x p M x y x y?? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?求下列曲線 在指定點(diǎn) 處的切線方程切線方程切線方程試求拋物線 上任一點(diǎn) 處的切線斜率解, 0 , .2pFx??????,并證明: 從拋物線的焦點(diǎn) 發(fā)射光線時(shí) 其反射線一定平行于 軸 16 20 0 022222222 , , ( ) .22( ) , .,22 2 2,.2 2 2,.p p py px y M PM N Y y X xyypxpyx N X y X x X x xypp p pFN x FM x y x pxp p px px x x FN FN M FM NM PQ x PM Q FN M FM N?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?過點(diǎn) 的切線 方程：切線與 軸交點(diǎn) ( ,0) ,故過 作 平行于 軸 則證 2005. 2 3 4 1 ,.2 2 4 , 1 , 6 , 41 1 256 4( 1 ) , 4 2. : 6 ( 1 ) , .4 4 4y x x y xy x x y ky x y x y x y x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????曲線 上哪一點(diǎn)的切線與直線 平行 并求曲線在該點(diǎn)的切線和法線方程切線方程: 法線方程解 323226. ,。( 3 ) ( ) .( ) l i m ( ) l i m ,l i m ( ) l i mr R r Rr R r Rr g rGMrrRRg r R M GGMrRrg r rgrg r rG M r G Mr R g r g rRRGMgrr? ? ? ?? ? ? ?????? ?? ???? ? ???離地球中心 處的重力加速度 是 的函數(shù) 其表達(dá)式為其中 是地球的半徑 是地球的質(zhì)量 是引力常數(shù).問 是否為 的連續(xù)函數(shù)作 的草圖是否是 的可導(dǎo)函數(shù)明顯地 時(shí) ,2l i m ( ) , ( )rRGMg r g r r RR ???? 在 連續(xù). (2) 33( 3 ) ( )2( ) , ( ) ( ) , ( ) .r R g rG M G Mg R g R g R g r r RRR? ? ??? ? ?? ? ? ? ?時(shí) 可導(dǎo).在 不可導(dǎo) 17 227. ( ) , : ( 1 , 3 ) ( ) , ( 0) 3 , ( 2) 1.3( ) , ( ) 2 . 3411 1 1 13 , , 3 ( ) , ( ) 3 .2 2 2 2P x y P x P PabcP x ax bx c P x ax b babb a c a b P x x x??? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求二次函數(shù) 已知 點(diǎn) 在曲線 上 且解 322 2 22 2 22 2 228. :( 1 ) 8 7, 24 1.( 2) ( 5 3 ) ( 6 2) , 5 ( 6 2) 12 ( 5 3 ) 90 36 10.( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) t a n ( 1 ) t a n , ( 2 ) t a n ( 1 ) se c .9 ( 9 2 ) ( 5 6) 5 ( 9 ) 5 12 54( 4) ,5 6 ( 5 6)y x x y xy x x y x x x x xy x x x x x y x x x xx x x x x x x xyyxx?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ???求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)22.( 5 6)1 2 2( 5 ) 1 ( 1 ) , .1 1 ( 1 )xxy x yx x x???? ? ? ? ? ?? ? ? 23 3 22 2 22226( 6) ( 1 ) , .1 ( 1 )1 ( 2 1 ) ( 1 ) 1( 7 ) , .( 8 ) 10 , 10 10 l n 10 10 ( 1 l n 10) .si n c os si n( 9) c os , c os si n .( 10) si n , si n c os ( sxxx x xx x x xx x x xxy x yxxx x x e e x x x xyye e ey x y x xx x x xy x x y x x xxxy e x y e x e x e??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? i n c os ) .xx? 000 0 000100110 0 009. : ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 0( ) . ( ) ( ) ( 1 )( 2) .( ) ( ) ( ) , ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ,(mkkkkkP x P x x x g x g xx P x m x P x k x P x kkP x x x g x g xP x k x x g x x x g xx x k g x x x g x x x h xhx???? ? ?? ??? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ?定義 若多項(xiàng)式 可表為則稱 是 的 重根今若已知 是