【正文】 p? ? ? ? ?? ? ?D ,16 ? 設(shè) T為任一 m m正交矩陣，令 A*=AT， f*=T′f，則模型能表示為 x=μ+A*f*+ε 因為 E(f*)=T′E(f)=0 V(f*)=T′V(f)T=T′T=I Cov(f*,ε)=E(f*ε′)=T′E(fε′)=0 所以仍滿足模型條件 。 ），使得新的因子有更好的實際意義。 ? 若 x為各分量已標準化了的隨機向量，則 xi與 fj的相關(guān)系數(shù) 此時 aij表示 xi與 fj之間的 相關(guān)系數(shù) 。 ? 當 x為各分量已標準化了的隨機向量時， σii=1，此時有 22 , 1 , 2 , ,i i i ih i p??? ? ?2ih2i?22 1 , 1 , 2 , ,iih i p?? ? ?21 ? 其中 反映了公共因子 fj對 x1,x2,?,xp的影響，是衡量公共因子 fj重要性的一個尺度，可視為公共因子 fj對 x1,x2,?,xp的總方差貢獻。 參數(shù)估計 ?一、主成分法 ?二、主因子法 ?三、極大似然法 23 一、主成分法 ? 設(shè)樣本協(xié)方差矩陣 S的特征值依次為 ，相應(yīng)的正交單位特征向量為 。這里的 和 就是因子模型的一個主成分解 。 ? 主成分法與主成分分析有著很相似的名稱，兩者很容易混淆。主成分法是因子分析中的一種參數(shù)估計方法，它并不計算任何主成分，且旋轉(zhuǎn)后的因子解釋一般就與主成分明顯不同了 。 ?i? ? ?? ? ????S A A D? ? 221? ?? ? ? mp????? ? ? ? ?S A A D 的 元 素 平 方 和25 ? 例 在例 ，分別取 m=1和 m=2，用主成分法估計的因子載荷和共性方差列于表 。因子 f1代表在徑賽項目上的總體實力，可稱為 強弱因子 ；因子 f2反映了速度與耐力的對比 。如果隨機向量 x滿足 正交 因子模型，則有 R=AA′+D 其中 R為 x的相關(guān)矩陣，令 R*=R?D=AA′ 則稱 R*為 x的 約相關(guān)矩陣 (reduced correlation matrix)。 2ih28 ? 設(shè) 是特殊方差 的一個合適的初始估計，則約相關(guān)矩陣可估計為 其中 是 的初始估計。 該估計方法稱為 迭代主因子法 。 ? (2)取 ，此時 。 2? 1 iii r? ? 1??R22? ?1iih ???2? m a xi ijjihr?? 22?? 1iih? ??2? 0i? ?2? 1ih ? ?A31 ? 例 在例 ，取 m=2，為求得主因子解，選用 xi與其他七個變量的復(fù)相關(guān)系數(shù)平方作為 的初始估計值。 *?R* * * *1 2 3 4* * * *5 6 7 8? ? ? ?6 .5 3 0 , 0 .7 7 9 , 0 .0 5 1 , 0 .0 0 6? ? ? ?0 .0 1 4 , 0 .0 1 5 , 0 .0 3 6 , 0 .0 5 3? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?*3??33 表 當 m=2時的主因子解 變 量 因子載荷 共性方差 f1 f2 ： 100米 ： 200米 ： 400米 ： 800米 ： 1500米 ? ： 5000米 ? ： 10000米 ? ： 馬拉松 ? 所解釋的總 方差 的累計比例 1f2?ih2?ih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x34 三、極大似然法 ? 設(shè) f~Nm(0,I)， ε~Np(0,D)，且相互獨立，則必有x~Np(μ,Σ)。由于 Σ=AA′+D，故似然函數(shù)可更清楚地表示為 L(μ,A,D)。由于 A的解是不惟一 的，故為了得到惟一解，可附加計算上方便的惟一性條件： A′D?1A是對角矩陣 上述方程組 中的 一般可用迭代方法解得。還有， 當 因子數(shù)增加時，原來因子的估計載荷及對 x的貢獻將發(fā)生變化，這 也 與主成分解及主因子解不同。 的初始估計值與例 。 因子旋轉(zhuǎn) ? 因子的解釋帶有一定的主觀性，我們常常通過旋轉(zhuǎn)因子的方法來減少這種主觀性且使之更易解釋 。假設(shè) A是 從 R出發(fā)求得的， 則有 |aij|≤1。 1，則模型的因子就易于解釋。 ? 反之 ， 如果 A的元素多數(shù)居中，不大不小，則對模型的因子往往就不易作出解釋，此時應(yīng)考慮進行因子旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)之后的載荷矩陣在每一列上元素的絕對值盡量地大小拉開，也就是盡可能多地使其中的一些元素接近于 0，另一些元素接近于 177。 38 ? 因子旋轉(zhuǎn)方法有 正交旋轉(zhuǎn) 和 斜交旋轉(zhuǎn) 兩類， 本章 只討論正交旋轉(zhuǎn)。 記 ， 于是 ? 幾何上，考慮由在 m個因子 f1, f2,?, fm上的載荷構(gòu)成的 m維坐標系，于是 ai是 xi在該坐標系下的一個坐標點。 ? 可見， 因子 正交旋轉(zhuǎn)不改變共性方差，且共性方差為上述坐標點到原點的平方（歐氏）距離 。 ? ? ? ?* * * *1 2 1 2, , , , , ,pp ????A a a a A a a a，* , 1 , 2 , ,ii ip???a T a* * *12, , , pa a a ? ? ? ?* 2 * * 2 , 1 , 2 , ,i i i i i i i ih h i p?? ? ? ?? ? ? ? ?a a T a T a a a39 ? 如果旋轉(zhuǎn)后的因子載荷具有前述的簡單結(jié)構(gòu)，則每一變量的坐標點將接近于其中的一個新坐標軸，即它只在該軸對應(yīng)的因子上有高的載荷，而在其余因子上僅有小的載荷。 ? 通常 因子旋轉(zhuǎn)未必能達到這種簡單結(jié)構(gòu)，但旋轉(zhuǎn)的目標一般應(yīng)是讓坐標軸接近于盡可能多的點。 ? 例 在例 ，旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣列于表 。 ? 將主成分解的 在圖 ，在點上標出相應(yīng)變量的序號。 ，點 i在新坐標系下的坐標為旋轉(zhuǎn)后的因子載荷配對 。 *1f*2f *1f*1f 12? ?( , )iiaa**12? ?( , )iiaa42 圖 主成分解的因子旋轉(zhuǎn) 43 ? 當只有兩個因子（ m=2）時，實際上，我們也可以通過目測因子載荷圖的方法，主觀地給出一個恰當?shù)淖鴺溯S按逆時針旋轉(zhuǎn)的角度 θ（如其值為負，則實為按順時針），以使新坐標軸都盡可能地穿過或接近變量點群。 45 ? 從相關(guān)矩陣出發(fā)，選擇主成分法，相關(guān)陣的前三個特征值為 累計貢獻率為 %，取因子數(shù) m=3，相應(yīng)結(jié)果列于表 。 因子得分 ?一、加權(quán)最小二乘法 ?二、回歸法 ?*三、兩種因子得分方法的比較 49 一、加權(quán)最小二乘法 ? 采用類似于回歸分析中加權(quán)最小二乘估計的想法將 估計為 稱為 巴特萊特 （ Bartlett,1937） 因子得分 。 ? 在實際應(yīng)用中，可用 分別代替上式中的 μ, A和 Σ 來得到因子