【正文】 xn1nx...xxX n1iin21 ?? ???????X? 計(jì)算公式： ? 其中： 代表算術(shù)平均數(shù)， x 代表各單位標(biāo)志值（變量值）， f 代表各組單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。 ? 四、五店人數(shù)相等，但平均工齡相差很大。 )( 年五店平均工齡 ????? ????????? ?? fxf算術(shù)平均數(shù)的若干數(shù)學(xué)性質(zhì) ? 平均數(shù)與總體單位數(shù)的積等于標(biāo)志總量 ? 若每個(gè)變量值 X 加減一任意常數(shù) ?，則平均數(shù)也增減一個(gè) ? ? 若每個(gè)變量值 X乘以一任意常數(shù) ?，則平均數(shù)也乘以一個(gè) ? ? 若每個(gè)變量值 X除以一任意常數(shù) ?，則平均數(shù)也除以一個(gè) ? ? 各個(gè)變量值 X與算術(shù)平均數(shù)的離差和為零 ? 各個(gè)變量值 X與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小值 ?????xnXnxX?交替標(biāo)志平均數(shù) ? 概念： 交替標(biāo)志又稱是非標(biāo)志，它是一個(gè)只有兩種答案的標(biāo)志。 ? 表示形式： ? 1：具有某種屬性的單位標(biāo)志值。 ? N：全部總體單位數(shù)。 ? N2：不具有某種屬性的總體單位數(shù)。 ? Q= N2 /N：不具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。 )(fx1fffx11H)(x1nnx11H加權(quán)平均式簡(jiǎn)單平均式??????????（ 2）調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的比較 ? 變量不同： 算術(shù)平均數(shù)是 x，調(diào)和平均數(shù)是 1/x 。 ? 聯(lián)系： 調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用： HMxMxxfMxfxxfxxfxffxfxxxff????????????????? ?11則令?（ 3）應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問題 ? 變量 x的值不能為 0。 ? 要注意其運(yùn)用的條件。問： ? （ 1）若各買 1公斤，平均每元可買多少公斤？ ? （ 2）各買 ，平均每元可買多少公斤？ ? （ 3）甲級(jí) 3公斤，乙級(jí) 2公斤，丙級(jí) 1公斤，平均每元可買幾公斤？ ? （ 4）甲乙丙三級(jí)各買 1元，每元可買幾公斤？ ? 例 2 自行車賽時(shí)速：甲 30公里，乙 28公里，丙 20公里，全程 200公里，問三人平均時(shí)速是多少？若甲乙丙三人各騎車2小時(shí)，平均時(shí)速是多少？ 解答：例 1 ? （ 1） ? （ 2） ? （ 3） ? （ 4） )/( 32111131 元公斤?????? ?nnH)/( 1 元公斤?????????????fxfH)/( 6 13111231 元公斤?????????????fxfH元）（公斤 / ????? ? n xx例 2 )/(6002002012002812003012020002001 小時(shí)公里?????????????fxfH)/(266156222 220228230 小時(shí)公里???? ??????? ?? fxfx三、 幾何平均法 （一）什么是幾何平均法？ ? 幾何平均法是 n個(gè)變量連乘積的 n次根。如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等的計(jì)算就采用幾何平均法。 ? 用環(huán)比指數(shù)計(jì)算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。 例 3： ? 假定某地儲(chǔ)蓄年利率（按復(fù)利計(jì)算）： 5%持續(xù)， 3%持續(xù) ， %持續(xù) 1年。 %%1001 8 39 3 %5 ??????? ??G率解：該地平均儲(chǔ)蓄年利四、眾數(shù)和中位數(shù) （一）眾數(shù) ? 變量值。 ? – （ 1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標(biāo)志值就是眾數(shù)。 ： ? 公式 1（上限公式）：用眾數(shù)所在組的上限為起點(diǎn)值計(jì)算 ? 公式 2（下限公式）：用眾數(shù)所在組的下限為起點(diǎn)值計(jì)算 ? U為眾數(shù)所在組組距的上限， L為眾數(shù)所在組組距的下限， f 為眾數(shù)所在組的次數(shù)， f1 為眾數(shù)所在組前一組次數(shù)， f+1 為眾數(shù)所在組后一組次數(shù)， i 為組距。 ? 計(jì)算方法 ? （ 1）由未分組資料確定中位數(shù) ? 排序：確定中位數(shù)位置 – 奇數(shù)：中間位置的標(biāo)志值為中位數(shù)。 21nOm??（ 2）由分組資料確定中位數(shù) ? 第一步：確定中位數(shù)所處位置，按 確定（ f為次數(shù)）。 ? 下限法：用 “ 以下累計(jì) ” 法確定中位數(shù)。 2fOm ??ifS2 fUMm1me ??????ifS2 fLMm1me ??????例 現(xiàn)檢測(cè)某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時(shí)間，得到資料如下表所示： 耐用時(shí)間 產(chǎn)品個(gè)數(shù) 累計(jì)次數(shù) 以下累計(jì) 以上累計(jì) 600以下 84 84 700 600800 161 245（ Sm1) 616 8001000 244(fm) 489 455 10001200 157 646 211 （ Sm+1) 12001400 36 682 54 1400以上 18 700 18 合計(jì) 700 － － 1170035022800 10002452200 2442112200 244mmemmemfOfSM L iffSM U if?????? ? ????? ? ? ???? ? ? ?中 位 數(shù) 位 置 ：中 位 數(shù) 在 第 三 組 ， 即 小 時(shí) 之 間代 入 公 式 得 ：7002＝ 800+ ＝ （ 小 時(shí) ）7002＝ 1000 ＝ （ 小 時(shí) ）五、計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的原則 ? 一、只能在同質(zhì)總體中計(jì)算。 ? 三、平均數(shù)必須同絕對(duì)數(shù)和具體事例結(jié)合應(yīng)用。 ? 如：七個(gè)人的工資分別為： 320元， 320元， 400元，400元， 500元， 500元， 2020元。 二、變異度指標(biāo)的作用 ? 衡量平均數(shù)代表性的大小 – 變異度指標(biāo)值與平均數(shù)的代表性大小成反比。 – 變異度指標(biāo)越小，現(xiàn)象變動(dòng)的穩(wěn)定性和均衡程度越高 ? 計(jì)算抽樣誤差和確定樣本容量的依據(jù)。 ? 全距是總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差，又稱極差。 全距 四分位差 Q （ 1）四分位差是四分位數(shù)中間兩個(gè)分位之差。 全距和四分位差均只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。 平均差 （ 簡(jiǎn)單式） （加權(quán)式） 含義明確，計(jì)算也較簡(jiǎn)便，能充分、客觀反映總體各單位標(biāo)志值之間的差異程度，但以絕對(duì)值為計(jì)算基礎(chǔ)不利于進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算。標(biāo)準(zhǔn)差的平方即為方差。 ? ??? ?ffxx 2? ??? ??ffxx 22?標(biāo)準(zhǔn)差和方差會(huì)經(jīng)常用到，是重點(diǎn)哦。 平均差系數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 作用 離散系數(shù)用于對(duì)比分析不同數(shù)列變異度大小。 0pxMSK???例 甲車間 300工人，日產(chǎn)量資料如表所示： 日產(chǎn)量（件） 工人數(shù)（人） 50以下 11 5060 13 6070 70 7080 120 8090 50 90100 30 100110 5 110以上 1 合計(jì) 300 求偏態(tài)系數(shù)。其偏態(tài)系數(shù)較小，說明工人日產(chǎn)量的眾數(shù)接近平均數(shù)水平。 ? 原點(diǎn)的 K階動(dòng)差 ， 以 Mk表示 。 日產(chǎn)量（件） 工人數(shù)（人） 50以下 11 5060 13 6070 70 7080 120 8090 50 90100 30 100110 5 110以上 1 合計(jì) 300 組中值 x 45 55 65 75 85 95 105 115 30 20 10 0 10 20 30 40 297000 104000 70000 0 50000 240000 135000 64000 18000 xx? ? ?3x x f?因此，該分布數(shù)列是輕微右偏分布 ? ?333375 (( ) 180006030060xx x fmfm?????????? ? ?? ? ?件 ）偏 度 系 數(shù)峰度 ? 描述 對(duì)稱分布曲線峰頂尖峭程度 的指標(biāo) ? 峰度的種類 正態(tài)峰度 ? 尖頂峰度 ? 平頂峰度 扁平分布 尖峰分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ? 峰度的測(cè)定方法 – 其中： ? ?=3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 ? ??3 平頂峰曲線，離散程度大 ? ??3 尖頂峰曲線，離散程度小 ? ?? U形曲線 ? ?? 一條水平線 22444mmm ????? ?nm? ???? 44? ? 222 ?????? ?nm常用的幾種次數(shù)分布類型 偏度和峰度指標(biāo)值 曲線類型 偏度 ??0 峰度 ??3 ??3 左偏平頂曲線 左偏尖頂曲線 偏度 ??0 峰度 ??3 ??3 右偏平頂曲線 右偏尖頂曲線 偏度 ?=0 峰度 ?=3 ??3 ??3 正態(tài)曲線 平頂曲線 尖頂曲線 偏態(tài)與峰度 (從直方圖上觀察 ) 戶數(shù)比重 (%) 25 20 15 10 5 農(nóng)村居民家庭村收入數(shù)據(jù)的直方圖 按純收入分組 (元 ) 1000 500 ← 1500 2020 2500 3000 3500 4000 4500 5000 → 結(jié)論： 1. 為右偏分布 2. 峰度適中 思考題 ? ，每組都是 7名工人每人日產(chǎn)零件數(shù)如下： ? 第一組： 20 40 60 70 80 100 120 ? 第二組： 67 68 69 70 71 72 73 ? 試計(jì)算兩個(gè)小組每人平均日產(chǎn)量、全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差，并比較哪一組的平均數(shù)代表性大？