20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)易錯(cuò)試卷篇附詳細(xì)答案-閱讀頁(yè)
2025-04-01 22:03本頁(yè)面
【正文】 垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設(shè)PH=PG=a,∵F是CD中點(diǎn)，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設(shè)HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當(dāng)b=，DF=4；當(dāng)b＝，DF＝9,即DF的長(zhǎng)為4或9。,∴∠1+∠4=45176。,∴△MNQ是直角三角形,設(shè)EM=a,NC=b列方程組,可得ab=,∴,【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，.9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣6，0）、點(diǎn)C（0，6），若正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OA′B′C′，記旋轉(zhuǎn)角為α：（1）如圖①，當(dāng)α＝45176。時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）若P為線段BC′的中點(diǎn)，求AP長(zhǎng)的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)α＝45176。A′B＝，可求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，證明△OMC′≌△C′N(xiāo)B′，可得C′N(xiāo)＝OM＝，B′N(xiāo)＝C′M＝3，即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段BC′的中點(diǎn)，所以PK＝OC′＝3，即點(diǎn)P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的正方形，當(dāng)α＝45176?！郃′B＝，∴BD＝（），∴CD＝6﹣（）=，∴BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，6）；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)C′作x軸垂線MN，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B′作MN的垂線，垂足為N，∵∠OC′B′＝90176。﹣∠B′C′N(xiāo)＝∠C′B′N(xiāo)，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′N(xiāo)B′＝90176。時(shí)，∵∠A′OC′＝90176。∴C′N(xiāo)＝OM＝，B′N(xiāo)＝C′M＝3，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為；（3）如圖③，連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，∵P為線段BC′的中點(diǎn)，∴PK＝OC′＝3，∴P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AK＝3，∴AP最大值為，AP的最小值為，∴AP長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點(diǎn)P的軌跡．10．問(wèn)題情境在四邊形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，M是邊AD的中點(diǎn)，連接MB，ME. 特例探究(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝90176。時(shí)，試探究線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 拓展延伸(3)如圖3，當(dāng)∠ABC＝α?xí)r，請(qǐng)直接用含α的式子表示線段MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝MB．證明見(jiàn)解析；(3)ME＝MB即可；（3）結(jié)論：EM=BM?tan．證明方法類(lèi)似；【詳解】(1) 如圖1中，連接CM．∵∠ACD=90176。BA=BC，∴∠MBE=∠ABC=45176?！逜B∥DE，∴∠ABE+∠DEC=180176?！唷螪CE=∠CDE=45176?！唷鰾ME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案為BM=ME，BM⊥EM．(2)ME＝MB．證明如下：連接CM，如解圖所示．∵DC⊥AC，M是邊AD的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MD．∵BA＝BC，∴BM垂直平分AC．∵∠ABC＝120176。∠BAC＝∠BCA＝30176。.∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEC＝180176?！唷螪CE＝∠DEC＝60176?！唷螹BE＋∠MEB＝90176。.在Rt△BME中，∵∠MEB＝30176。根據(jù)ASA判定△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得AF=AE．【詳解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90176?！唷螧AF=∠DAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90176。使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接AP，設(shè)△APE的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．【解析】試題分析：（1）過(guò)O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，由平行線等分線段定理得到CM=ME，根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到結(jié)果；（2）過(guò)P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，根據(jù)已知條件得到∠ECB=∠PEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=（1﹣x）?x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．試題解析：（1）過(guò)O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）過(guò)P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，∵∠CEP=∠EBC=90176。在△EPG與△CEB中，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．考點(diǎn)：四邊形綜合題14．如圖①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45176。利用HL即可證明；（2）若四邊形AMCN為菱形，則有AM=AN，從已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90176。AB＝CD，AD∥BC．∵四邊形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四邊形AMCN是平行四邊形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．（2）當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．∵四邊形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝9
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