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【正文】 2023/3/21 12 ( b ) y2= x3+ x + 1 1 0 2 31 2 R Q P1 P12 3 2 1 10 4 224QR P1 P1( a ) y2= x3 x 4 224圖 橢圓曲線的兩個(gè)例子 有限域上的橢圓曲線 橢圓曲線 2023/3/21 13 ? 橢圓曲線上的 加法運(yùn)算定義 如下： 如果其上的 3個(gè)點(diǎn)位于同一直線上，那么它們的和為 O。 ?② 設(shè) P1=(x,y)是橢圓曲線上的一點(diǎn) , 它的加法逆元定義為 P2= P1=(x, y)。 ? 由 O+O=O， 還可得 O=O 有限域上的橢圓曲線 橢圓曲線 2023/3/21 14 ?③ 設(shè) Q和 R是橢圓曲線上 x坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)， Q+R的定義如下： 畫(huà)一條通過(guò) Q、 R的直線與橢圓曲線交于 P1（ 這一交點(diǎn)是惟一的，除非所做的直線是 Q點(diǎn)或 R點(diǎn)的切線，此時(shí)分別取 P1=Q和 P1=R）。 ?④ 點(diǎn) Q的倍數(shù)定義如下： 在 Q點(diǎn)做橢圓曲線的一條切線，設(shè)切線與橢圓曲線交于點(diǎn) S， 定義 2Q=Q+Q=S。 ? 以上定義的加法具有加法運(yùn)算的一般性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等。其中最為常用的是由方程 ?y2≡x3+ax+b(mod p) ?(a,b∈ GF(p),4a3+27b2(mod p)≠0) () ?定義的曲線。 ? 然而我們感興趣的是曲線在第一象限中的整數(shù)點(diǎn)。 本例中 E23(1,1)由表 ，表中未給出 O 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 17 ?一般來(lái)說(shuō)， Ep(a,b)由以下方式產(chǎn)生： ?① 對(duì)每一 x(0≤xp且 x為整數(shù)），計(jì)算x3+ax+b(mod p)。 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 18 ?Ep(a,b)上的加法定義如下： ? 設(shè) P， Q∈ Ep(a,b)， 則 ?① P+O=P。 ? 由 Ep(a,b)的產(chǎn)生方式知， P也是 Ep(a,b)中的點(diǎn)，如上例， P=(13,7)∈ E23(1,1)， P=(13, 7)， 而 7 mod 23≡16，所以 P=(13, 16)， 也在 E23(1,1)中。 12337 10 3 1( 1 ) 2 22 12 11 m od 239 3 6 211 3 9 109 17 m od 2311 ( 3 17 ) 10 164 20 m od 23x
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