可靠性工程03-在線瀏覽
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【正文】 .0 1 2 3 (1q) q 0 0 p(1q) pq+(1p)(1q) q(1p) 0 0 p(1q) pq+(1p)(1q) q(1p) 0 0 p(1q) pq+(1p)0 1 2 3馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p p11 p12 … p1n …p21 p22 … p2n …… … … … …pn1 pn2 … pnn …… … … … …P=Markov過程p n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率n 設系統(tǒng)初始狀態(tài)是 的概率 ，由切普曼— 柯爾莫哥洛夫方程， 可表示為： 式中 n = k + l, v ? E(狀態(tài)空間 )n 此式為由狀態(tài) i經(jīng) n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的概率，等于由狀態(tài) i先經(jīng) k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài) v，然后由狀態(tài) v經(jīng) l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的概率(此處 v也可理解為從 i到 j的通道 )。若重復上述方法，就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率。公式如下： 式中 P－ 1步轉(zhuǎn)移概率； － n步轉(zhuǎn)移概率；n－ 轉(zhuǎn)移步數(shù) (次數(shù) )；P(0)－系統(tǒng)初始狀態(tài)向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始 t=0時刻系統(tǒng)處于 i狀態(tài)的概率P(n)－ n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量， P(n)=[ P1(n), P2(n),…]Pi(n) － n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于 i狀態(tài)的概率 n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率n 例：如下圖，已知 P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求 n=1,2,… 等各步 (次 )轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。 n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得 n=1， n=2， n=3， n=5時的狀態(tài)矩陣 由此可知，隨著 n的遞增， P1(n)、 P2(n)逐漸趨于穩(wěn)定。 n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率p 本例 n??時的極限概率為 P1(?)=4/9, P2(?)=5/9,即 n??時， 將收斂于一個定概率矩陣，即 (本例為 )： p 在實踐中常會遇到這樣的情況，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，在經(jīng)歷了一段工作時間后，便會處于相對穩(wěn)定狀態(tài)，在數(shù)學上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性。具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣。遍歷矩陣一定存在極限概率 (或穩(wěn)定狀態(tài) )。 n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率p 設平穩(wěn)狀態(tài)概率為 P(n)=[ P1, P2… Pn], P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則求平穩(wěn)狀態(tài)概率，只需求解以下方程： 或?qū)懗桑?n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率p 展開后得： (j=1,2,…n) （ n個方程只有 n1個是獨立的，因此必須再加另一個獨立方程。 n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率p 例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率。 單部件可修系統(tǒng)p部件的失效率、修復率分 別 是常數(shù) λ、 μ， 則 ：pt時 刻系 統(tǒng)處 于工作 (正常工作 )狀 態(tài) ，在 t→t+Δt 之 間 內(nèi) 發(fā) 生故障的條件概率 為 λΔt (即 為 )pt時 刻系 統(tǒng)處 于故障狀 態(tài) ，在 t→t+Δt 之 間 即 Δt時間 內(nèi)修復好的條件概率 為 μΔt(即 為 ) 單部件可修系統(tǒng)p 單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 單部件可修系統(tǒng)p 上圖中 :p 同理 :條件概率 單部件可修系統(tǒng)p 上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為 : 單部件可修系統(tǒng)
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