【正文】 解決工程實(shí)際問題開辟了廣闊的前景。也就是說，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時，確定其任一點(diǎn)的 應(yīng)力 、 應(yīng)變狀態(tài) 和 位移 。 7 彈性力學(xué)及其基本假設(shè) 五個基本假設(shè) —— 理想彈性體 （ 1） 連續(xù)性假定。 保證物體內(nèi)一些物理量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移等）的連續(xù)性 ，從而可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述。 這是假定物體服從胡克定律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成正比。 8 彈性力學(xué)及其基本假設(shè) 五個基本假設(shè) —— 理想彈性體 （ 3） 均勻性假定。 保證整個物體的所有各部分具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不會隨位置坐標(biāo)而變 ，可以取出該物體的任意一小部分來加以分析，然后把分析所得的結(jié)果應(yīng)用于整個物體。 假定物體的彈性在所有各方向上都相同。 （ 5）小位移和小變形的假定。 保證在建立變形體的平衡方程時，可以用物體變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差 ，在考察物體的變形及位移時，對于轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次冪或其乘積都可以略去不計。通常情況下，面力是物體表面各點(diǎn)的位置坐標(biāo)的函數(shù)。通常與物體的質(zhì)量成正比、且是各質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，如 重力、慣性力、磁場力 等。若假想用一經(jīng)過物體內(nèi) P點(diǎn)的截面 mn將物體分為兩部分 A和 B，移去其中的一部分 B。 （ 2）內(nèi)力 圖 11 物體內(nèi)任意點(diǎn)處的應(yīng)力 B m n ? ? P ? A ? G T y x z o A 外力與內(nèi)力 13 所謂一點(diǎn)處某個截面上的應(yīng)力 (Stress)就是指該截面上的“附加內(nèi)力”， 即 應(yīng)力是內(nèi)力在該點(diǎn)處的集度 。 通常將應(yīng)力沿截面 ?A的法向和切向進(jìn)行分解，相應(yīng)的分量就是常用的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。只有同時給出過該點(diǎn)截面的外法向方向，才能確定物體內(nèi)該點(diǎn)處此截面上應(yīng)力的大小和方向，才能表示這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。這樣，用 9個應(yīng)力分量來表示正方體各面上的應(yīng)力，即 ???????????zzyzxyzyyxxzxyxij?????????σ（ ） 其中， σ 為正應(yīng)力，下標(biāo)表示作用面和作用方向； τ 是剪應(yīng)力，第一下標(biāo)表示截面外法線方向，第二下標(biāo)表示剪應(yīng)力的方向。相反，如果應(yīng)力作用面的外法線是指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向，那么該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。因此，為了考察物體內(nèi)某一點(diǎn)處的 應(yīng)變 (Strain)，可在該點(diǎn)處從物體內(nèi)截取一單元體，研究其棱邊長度和各棱邊夾角之間的變化情況。 應(yīng)變 17 在圖 13(a)中，單元體在 x方向上有一個的伸長量。即 xuxx ????相應(yīng)地， y軸方向的正應(yīng)變?yōu)椋? yuyy ????xy 平面內(nèi)的剪應(yīng)變： 12t a n 。體積應(yīng)變表示彈性體體積的擴(kuò)張或收縮，按線彈性理論，體積應(yīng)變的大小等于三個線應(yīng)變的和，即 zyxVV ??? ?????? （ ） 應(yīng)變 19 應(yīng)力狀態(tài)的描述 彈性體在外力作用下產(chǎn)生應(yīng)力場，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用 6個應(yīng)力分量 描述。以下從應(yīng)力坐標(biāo)變換、任意截面的應(yīng)力分解實(shí)現(xiàn)對一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，并介紹主應(yīng)力等概念。設(shè) 軸為斜面的外法線， 和 與該斜平面相切， ， 和 構(gòu)成新的直角坐標(biāo)系。如圖 14，這些夾角的余弦值定義為 軸的方向余弦。xx? yx39。?x?xxxxn 39。 c o s?? yxyxn 39。 c o s?? zxzxn 39。 c o s??（ ） 三個方向余弦滿足如下關(guān)系： 12 39。2 39。y39。39。39。39。39。T T即為應(yīng)力變換矩陣。 ,?σ σ 分別為新坐標(biāo)系和 原坐標(biāo)系下的一點(diǎn)的應(yīng)力矩陣。y39。 ，然后再繞新的 x軸旋轉(zhuǎn) 30176。 MPa 某一點(diǎn)在 xyz坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)已知，其應(yīng)力矩陣如下 ???????????????522246268σ????????????????????????????????zyxzyx1000c o ss i n0s i nc o s111???? （ a） 解： 對于每一次旋轉(zhuǎn)，都可以通過一系列的坐標(biāo)變換得到彈性體表面的法線向量，并可將該法向向量分別投影到 x,y,z軸，得到三個方向上的向量分量。39。zyx??????????? ????c o ss in0s inc o s0001??????????111zyx= 將第一式代入上式，可得 第二次旋轉(zhuǎn)確定了 x’y’z’坐標(biāo)，它們與 坐標(biāo)的關(guān)系如下 111 zyx??????????39。39。39。σ MPa 25 任意截面上的應(yīng)力分解 圖 15 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) X N N ? y P A C B ? z ? x ? xz ? zx ? xy ? yz ? yx ? xy Z N Y N x y z o 設(shè)平面 ABC的外法線為 N，而 N的方向余弦為 cos (N, x)= nx， cos (N, y)= ny， cos (N, z)= nz （ ） 可見，如果把平面 ABC的外法線 N作為變換后的任一坐標(biāo)軸，則上面方向余弦對應(yīng)變換矩陣的一行。公式描述了彈性體內(nèi)任一點(diǎn) P的 6個應(yīng)力分量，與通過 P點(diǎn)任一平面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這種沒有剪應(yīng)力存在的截面稱為過該點(diǎn)的主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力，主應(yīng)力的方向總是與主平面的法線方向平行，稱為該點(diǎn)應(yīng)力的主方向。將主應(yīng)力分別代入（ ），結(jié)合（ ）式便可分別求出各主應(yīng)力方向的方向余弦。 30 主應(yīng)力 （ 2）應(yīng)力不變量 方程式 ()中， 的系數(shù)以及常數(shù)項記為 定義為第一，第二，第三應(yīng)力不變量。 ???????????? ??????? III（ ） 也可以通過選擇主坐標(biāo)作為參考坐標(biāo)，用主應(yīng)力組成的矩陣來表示： 32 主應(yīng)力 （ 3）摩爾圓 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用摩爾圓來表示，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的具體值在陰影區(qū)域表示。 從圖中可以得出以下結(jié)論： （ 1）主應(yīng)力用圖上點(diǎn) A， B和 C來表示，這些點(diǎn)相應(yīng)的剪應(yīng)力為 0。 2/)( 31 ?? ?2)( 31 ?? ? （ 3）對于正應(yīng)力有三個極限值和所對應(yīng)的平面叫主應(yīng)力平面 ，主剪應(yīng)力有 2)(。2/)(213312321 ????????? ??????（ ） σAσ1τBσ2Cσ3OEDFQ ( σ , τ )π 平 面33 平衡微分方程 一般情況下物體內(nèi)不同的點(diǎn)將有不同的應(yīng)力。當(dāng)彈性體在外力作用下保持平衡時，可根據(jù)平衡條件來導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。 圖 17 微小單元體的應(yīng)力平衡 A B B’ D D’ C C’ ? x ????xxxdx? ? yx ?? ??zxzxzdz? ? zx ????yxyxydy? x z y A’ 根據(jù)平衡方程，有， 0 ????????? ???????????????????? ?X d x d y d zd x d yd x d ydzzd x d zd x d zdyyd y d zd y d zdxxzxzxzxyxyxyxxxx???????????????整理得 ?????????x yx zxx y z X ? ? ? ? 0（ ） （ ） 34 平衡微分方程 同理可得 y方向和 z方向上的平衡微分方程。 ?? AAM022)(22)()()(22)()(2)(2????????????????????????????????dyd x d ydyd x d ydzzdxd x d ydxd x d ydzzd x d z d yyd x d z d yydxd x d zdxd x d zdyyd y d z d xdxxdyd y d zdxxdyd y d zzxzxzxzyzyzyyxyxyxyxyyyxyxyxxx??????????????????（ ） （ ） 35 平衡微分方程 展開這個式子，略去四階微量，整理后得到 或 0?? d x d y d zd x d y d z yxxy ??yxxy ?? ?同理，得 zyyz ?? ?和 xzzx ?? ?將上面三個式子聯(lián)立，得到任意一點(diǎn)處應(yīng)力分量的另一組關(guān)系式 yxxy ?? ? zyyz ?? ? xzzx ?? ?這個結(jié)果表明：任意一點(diǎn)處的六個剪應(yīng)力分量成對相等，即 剪應(yīng)力互等定理 xyzxyyzzx????????????????? ????????????σ為便于表示，一點(diǎn)的九個應(yīng)力分量寫成應(yīng)力列陣 ， （ ） （ ） （ ） 36 幾何方程 彈性體受到外力作用時，其形狀和尺寸會發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。 從物體內(nèi) P點(diǎn)處取出一個正方微元體，其三個棱邊長分別為 dx、 dy、 dz，如圖 18所示。為研究方便，可將微元體分別投影到三個坐標(biāo)面上。 圖 18 微元體 zyxd zd yd xod xd yvuyoAA’BD C B’C’D