等邊三角形的判定與性質(zhì)難題-在線瀏覽
2024-09-15 10:46本頁(yè)面
【正文】 斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于（ ?。．25176。B．30176。D．60176。B．30176。D．60176。∴∠A=30176。∴三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60176。得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長(zhǎng)線的垂線AD，垂足為D，易證得△PCQ是等邊三角形，△APQ是直角三角形，則可求得∠APC的度數(shù)，然后可求得∠APD的度數(shù)，在Rt△APD中，即可求得AD與CD的長(zhǎng)，繼而求得AC2．解答：解：將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176?！唷鱌CQ是等邊三角形，∴PQ=PC=3，∠QPC=60176?！唷螦PC=∠APQ+∠QPC=150176。在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP?cos30176。AB=BC=CA，∵DE是中位線，∴E是AC的中點(diǎn)，∴BE平分∠ABC，AE=EC，∴∠EBC=∠ABC=30176?！唷螰=30176?！螦ED=∠ACB=60176。﹣∠ADE=120176?！唷螰CE=∠EDB，∴△BDE≌△ECF，∴BE=EF．點(diǎn)評(píng)：此題考查等邊三角形以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)． 5．（2008?朝陽(yáng)區(qū)二模）已知：在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，有結(jié)論“在直線EF上存在一點(diǎn)H，使得△DGH是等邊三角形”成立（如圖①），且當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B、E、C重合時(shí)，該結(jié)論也一定成立．問題：當(dāng)點(diǎn)G在直線BC的其它位置時(shí)，該結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你在下面的備用圖②③④中，畫出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)論．考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題．分析：連接DE、EF、DF．（1）當(dāng)點(diǎn)G在線段BE上時(shí)，如圖①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等邊△ABC三邊中點(diǎn)，可得△DEF、△DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD，可證明△DBG≌△DEH，然后即可證明；（2）當(dāng)點(diǎn)G在射線EC上時(shí)，如圖②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可證△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60176。即可證明．（3）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，與（2）同理可證，結(jié)論成立．解答：證明：連接DE、EF、DF．（1）當(dāng)點(diǎn)G在線段BE上時(shí)，如圖①，在EF上截取EH使EH=BG．∵D、E、F是等邊△ABC三邊中點(diǎn)，∴△DEF、△DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD．在△DBG和△DEH中，∴△DBG≌△DEH（SAS），∴DG=DH．∴∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60176?！嘣谥本€EF上存在點(diǎn)H使得△DGH是等邊三角形．（2）當(dāng)點(diǎn)G在射線EC上時(shí)，如圖②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可證△DBG≌△DEH．∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60176。．∴在直線EF上存在點(diǎn)H使得△DGH是等邊三角形．（3）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，與（2）同理可證，結(jié)論成立．綜上所述，點(diǎn)G在直線BC上的任意位置時(shí)，該結(jié)論成立．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是巧妙地作出輔助線進(jìn)行解題． 6．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，以BP為邊作等邊三角形BPM，連接CM．（1）觀察并猜想AP與CM之間的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；（
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