【正文】 整個(gè)系統(tǒng)滿足上面所有 16 條性質(zhì)。當(dāng)然，還有一些有序域，它里面的元素根本不是常規(guī)意義上的數(shù)，它們之間的大小關(guān)系、加法乘法也根本不是常規(guī)意義上的大小關(guān)系和加法乘法。也就是說，在任何一個(gè)有序域中，我們都可以從加法單位和乘法單位出發(fā)，把全部的或者部分的、本來有可能并不是數(shù)的元素看成是一個(gè)個(gè)的數(shù)，得到一個(gè)與有理數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)：加法單位就是 0 ，乘法單位就是 1 ，等于 1 + 1 的那個(gè)元素就是 2 ， 等于 2 + 1 的那個(gè)元素就是 3 ， 2 的加法逆元就是 2 ， 2 的乘法逆元就是 1/2 ，等等，而且這些元素確實(shí)是不同的元素，它們之間的小于等于、加法乘法的運(yùn)算結(jié)果也確實(shí)符合有理數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果。這里，我們突然有了一個(gè)非常激動(dòng)人心的問題：一個(gè)有序域有沒有可能比實(shí)數(shù)域更大（實(shí)數(shù)域只和它的某個(gè)子有序域同構(gòu)）？有理數(shù)域已經(jīng)封閉了，但加進(jìn)去一系列新的元素之后，我們有可能得到一個(gè)封閉的、更大的實(shí)數(shù)域；那么，能否在實(shí)數(shù)域里面也加進(jìn)去一些新的元素，讓實(shí)數(shù)域進(jìn)一步擴(kuò)張成某個(gè)更大的有序域？不不不，答案沒有“復(fù)數(shù)域”那么簡(jiǎn)單——復(fù)數(shù)域不是有序域，因?yàn)樗皇怯行虻?。在這個(gè)比實(shí)數(shù)域更大的有序域中，我們不但能繼續(xù)加減乘除，還要能繼續(xù)做大小比較，每一個(gè)新的數(shù)和每一個(gè)原有的實(shí)數(shù)之間都有一個(gè)確定的大小關(guān)系。是這樣嗎？會(huì)不會(huì)有某一種外星文明，他們也有一套自己的算術(shù)系統(tǒng)，雖然也有加減，雖然也有乘除，雖然跟我們正在使用的算術(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)的，但其直觀意義和表示方法都跟我們完全不同。作為一個(gè)科幻迷，我甚至馬上想到了，這應(yīng)該是一個(gè)絕佳的科幻素材：數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了地外生命的某種全新的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，并且一步一步嘗試去解讀它?！赌阋簧墓适隆返臄?shù)學(xué)版，多么激動(dòng)人心的一件事情??！這樣的小說已經(jīng)有了。我打算直接把它叫做“超實(shí)數(shù)”——正如“實(shí)數(shù)”就是“現(xiàn)實(shí)的數(shù)”一樣，“超實(shí)數(shù)”也就是“超現(xiàn)實(shí)的數(shù)”了（其實(shí)，不得不說的是，“超實(shí)數(shù)”這個(gè)譯名有一個(gè)很大的弊端：它可能會(huì)與另一個(gè)叫做 hyperreal numbers 的概念發(fā)生混淆）。小說講述了 Alice 和 Bill ，一對(duì)年輕男女，逃到一個(gè)漂亮的孤島上“尋找自我”。然后，我們將跟隨 Alice 和 Bill 的思路，逐漸探索這些公理的意義，期間會(huì)走不少的彎路，歷經(jīng)一些失敗的嘗試，到最后終于成功恢復(fù)出了一個(gè)完整的算術(shù)系統(tǒng)。在下面的討論中，時(shí)刻記住：我們?cè)趯W(xué)習(xí)外星數(shù)學(xué)。請(qǐng)忘記“數(shù)”的概念，忘記“小于等于”的概念?！靶∮诘扔凇币彩且环N全新的概念，這四個(gè)字整個(gè)兒是一個(gè)新詞，它不是由“小于”和“等于”合成的?！按笥诘扔凇敝皇且粋€(gè)與“小于等于”對(duì)稱的說法。偶爾我們會(huì)用 ≤ 代替“小于等于”，用 ≥ 代替“大于等于”，不過也請(qǐng)假裝這些符號(hào)對(duì)你來說是完全陌生的。1. 每個(gè)數(shù)都是用兩個(gè)（由已有的數(shù)構(gòu)成的）集合表示的，其中左邊集合里不存在這樣的數(shù)，它大于等于右邊集合里的某個(gè)數(shù)。我們把它記作 f = {a, b | c, d, e} 。比如，如果 x = {a, b | c} ， y = {d | e} ，那么 x 小于等于 y ，當(dāng)且僅當(dāng) a 、 b 都不大于等于 y ，并且 e 不小于等于 x 。不過，我們每次都需要用已有的數(shù)來定義新的數(shù)，那我們從什么地方開始呢？答案是，我們從空集開始。再次提醒，這個(gè)數(shù)或許能被等價(jià)地理解為我們世界中的某個(gè)數(shù)，或許不能。我們把這個(gè)數(shù)記作 α 。容易看出， α ≤ α ，因?yàn)?α 的左集合里確實(shí)沒有哪個(gè)數(shù)大于等于 α ，并且 α 的右集合里確實(shí)沒有哪個(gè)數(shù)小于等于 α （事實(shí)上 α 的左集合里和右集合里根本就沒有數(shù)）。在接下來的過程中時(shí)刻記住， α 既小于等于自己，又大于等于自己。注意， {α | α} 是不合法的，它違反了公理 1 ：左集合里的數(shù)不能大于等于右集合里的數(shù)。另外， β 也是小于等于 γ 的，不過請(qǐng)注意，這并不是根據(jù)“小于等于”的傳遞性推出的，而是根據(jù)“小于等于”的定義直接驗(yàn)證的。事實(shí)上，我們還不知道“小于等于”有什么直觀意義。換句話說，在這個(gè)神秘的算術(shù)系統(tǒng)中，如果 x ≤ y ，并且 y ≤ z ，那么 x ≤ z 。我們對(duì)三元組 (x, y, z) 施加歸納。根據(jù)定義，如果 x ≤ y ，那么對(duì)于 x 的左集合中的任意一個(gè)元素 xL都不成立。是絕對(duì)不可能發(fā)生的，因?yàn)槲覀円呀?jīng)有了 y ≤ z ，如果還有 z ≤ xL矛盾。用類似的方法可以推出，不可能出現(xiàn) zR是 z 的右集合中的任意一個(gè)元素?！?x 同時(shí)成立，由歸納假設(shè)就會(huì)得到 zR于是我們知道了， z 的右集合里不可能出現(xiàn)小于等于 x 的數(shù)。由于超實(shí)數(shù)所具有的遞歸本質(zhì)，在研究超實(shí)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，最基本的方法就是數(shù)學(xué)歸納法。和 xR讓我們來做幾個(gè)練習(xí)吧。其中 xL其中 xR假設(shè)這幾條性質(zhì)對(duì)于更早產(chǎn)生的數(shù)都成立。都有 x ? xL的數(shù)即可?！?xL≥ xL證明對(duì)于任意 xR的方法也是類似的。都不大于等于 x ，并且 xR我們不妨把這三個(gè)結(jié)論分別叫做補(bǔ)充性質(zhì) 1 、補(bǔ)充性質(zhì) 2 和補(bǔ)充性質(zhì) 3 。有人或許會(huì)說：x ? xL，豈不意味著 x ≥ xL不過，不管怎么說， x ≥ xL我們可以證明這一點(diǎn)，基本思路仍然是數(shù)學(xué)歸納法。都有 x ≥ xL的左集合里不存在大于等于 x 的數(shù)，并且 x 的右集合里不存在小于等于這個(gè) xL根據(jù)公理 1 的規(guī)定，后者顯然是成立的。大于等于它的左集合里的所有元素，如果這個(gè) xL≥ x ，與剛才的補(bǔ)充性質(zhì) 1 矛盾。都有 x ≤ xR的意思就是 x 的左集合里不存在大于等于 xR的右集合里不存在小于等于 x 的數(shù)，兩者可以分別由公理 1 和歸納假設(shè)推出。 x ? y 意味著某個(gè) xL小于等于 x 。大于等于 y ，但剛才我們證明了 x 大于等于一切 xL小于等于 x ，但剛才我們證明了 y 小于等于一切 yR所以，不管是哪種情況， x ≥ y 都是成立的。例如，公理 1 原本說的是，一個(gè)數(shù)是合法的，當(dāng)且僅當(dāng)它的左集合里的每一個(gè)數(shù)都不大于等于右集合里的每一個(gè)數(shù)。對(duì)已有的數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，你會(huì)覺得 x ≥ y 似乎真的能夠推出 x ? y 。x 小于等于 y 當(dāng)且僅當(dāng) x 的左集合里不存在大于等于 y 的數(shù)，并且 y 的右集合里不存在小于等于 x 的數(shù)α = { | } ， β = { | α} ? α 不小于等于 β ，或者說 β 不大于等于 αγ = {α | } ， α = { | } ? γ 不小于等于 α ，或者說 α 不大于等于 γγ = {α | } ， β = { | α} ? γ 不小于等于 β ，或者說 β 不大于等于 γ但是，如果再多生成一些數(shù)，問題就出來了。把這個(gè)數(shù)叫做 δ 。這說明，雖然 x ? y 可以推出 x ≥ y ，但是 x ≥ y 不能推出 x ? y ，兩者并不是等價(jià)的?，F(xiàn)在，讓我們來回顧一下“小于等于”這個(gè)關(guān)系所滿足的性質(zhì)。它滿足完全性，即 x ≤ y 和 y ≤ x 至少有一個(gè)成立。反對(duì)稱性的意思是，如果 x ≤ y 并且 y ≤ x ，那么 x 和 y 必然是同一個(gè)元素。我們剛才反復(fù)強(qiáng)調(diào)，這里的“小于等于”是一個(gè)全新的概念，不要把它想象成我們熟知的那個(gè)小于等于；現(xiàn)在看來，這是一個(gè)無比正確的決定——這里的“小于等于”就是不能看成是我們熟知的那個(gè)小于等于。先別管它。在 Knuth 的小說中， Alice 和 Bill 又發(fā)現(xiàn)了一塊新的石板，石板上定義了一種叫做“加法”的二元運(yùn)算，用符號(hào) + 表示。定義 x + y 的結(jié)果是一個(gè)新的數(shù)：它的左集合是由 x 的左集合的所有元素分別加 y ，以及 x 分別加上 y 的左集合的所有元素構(gòu)成的；它的右集合是由 x 的右集合的所有元素分別加 y ，以及 x 分別加上 y 的右集合的所有元素構(gòu)成的。顯然，加法也是遞歸地定義出來的。這個(gè)證明是很有必要的，它直接關(guān)系到加法運(yùn)算的封閉性。 Knuth 的書中有一段情節(jié)我非常喜歡，講的就是 Alice 和 Bill 突然意識(shí)到自己忘了做這件事情。”聽了這話之后， Bill 說：“開玩笑吧，這是兩個(gè)數(shù)之和，當(dāng)然是一個(gè)數(shù)咯！等等，我想想……哦，我們還要檢查它是否滿足公理 1 。這里，我們略去證明。容易看出：α + α = α ， α + β = { | α + α} = { | α} = β ， α + γ = {α + α | } = {α | } = γ 。如果 x = {a, b | c} ，那么 α + x 就等于 {α + a, α + b | α + c} ，根據(jù)歸納假設(shè)，這就是 {a, b | c} 。如果 x = {a, b | c} ，那么 x + α 就等于 {a + α, b + α | c + α} ，根據(jù)歸納假設(shè)，這就是 {a, b | c} 。那么，這里的加法是否滿足交換律呢？讓我們?cè)囍容^一下 β + γ 和 γ + β 的結(jié)果，來做一番探究吧。再次利用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以很快得出，這里的加法就是滿足交換律的。同樣是利用數(shù)學(xué)歸納法，我們還可以得出，這里的加法也是滿足結(jié)合律的。+ y) + z 、 (x + yL) + z 、 (x + y) + zL+ (y + z) 、 x + (yL根據(jù)歸納假設(shè)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)， (x + y) + z 的左集合和 x + (y + z) 的左集合本質(zhì)上是一樣的。這里的加法還滿足有序域條件列表中的第 15 條，即 x ≤ y 可推出 x + z ≤ y + z 。事實(shí)上，我們會(huì)證明一組比這還要強(qiáng)的結(jié)論：1. 若 x ≤ y ，并且 z ≤ w ，則 x + z ≤ y + w2. 若 x + z ≤ y + w ，但是 z ≥ w ，則 x ≤ y就像之前證明那三個(gè)補(bǔ)充性質(zhì)一樣，我們會(huì)把這兩個(gè)結(jié)論捆綁到一塊兒，共同施加數(shù)學(xué)歸納法。根據(jù)加法的定義， x + z 的左集合由所有可能的 xL組成， y + w 的右集合由所有可能的 yR組成。因此，如果 x + z ≤ y + w 不成立，這就意味著 xL≥ y + w 、 yR≤ x + z 這四種情況當(dāng)中至少會(huì)有一種出現(xiàn)。例如，在第一個(gè)式子當(dāng)中， xL≥ y ?！?x ，這與之前的補(bǔ)充性質(zhì) 1 矛盾?！?z 、 yR≤ w ，這都與之補(bǔ)充性質(zhì)相矛盾。如果 x ≤ y 不成立，這就意味著 xL≤ x 這兩種情況當(dāng)中至少會(huì)有一種出現(xiàn)。例如，在第一個(gè)式子當(dāng)中， xL+ z ≥ y + w ，這與已知的 x + z ≤ y + w 矛盾。+ w ≤ x + z ，這也與已知的 x + z ≤ y + w 矛盾。這里定義的加法滿足加法交換律、加法結(jié)合律。這里定義的加法甚至存在加法單位。不過，我們目前還不知道的是，是否每個(gè)元素都存在加法逆元？換句話說，是否對(duì)于每一個(gè)數(shù)，我們都能找出一個(gè)相應(yīng)的數(shù)，使得兩者相加等于那個(gè)加法單位？結(jié)果你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是根本不可能的。此時(shí)，又該輪到謎一般的石板登場(chǎng)了。遞歸地定義 x 的“逆元”為，將 x 的左右集合顛倒，并把集合里的每個(gè)數(shù)都變?yōu)椤澳嬖彼玫男聰?shù)。可以證明，一個(gè)合法的數(shù)的“逆元”一定是滿足公理 1 的，換句話說，一個(gè)合法的數(shù)的“逆元”一定也是合法的數(shù)。容易看出， α 的“逆元”就是它本身。這表明，我們剛才的 β 和 γ 互為“逆元”。如果這里的“逆元”是真正的逆元，那么 β + γ 應(yīng)該等于 α ，但實(shí)際情況卻并不是這樣。此時(shí)，一件非常有趣的事情出現(xiàn)了： β + γ 的結(jié)果雖然不等于 α ，但卻和 α 之間有一個(gè)極其特別的關(guān)系——它既小于等于 α ，又大于等于 α 。我們先來證明這個(gè)結(jié)論的前半部分，即 x + (x) 一定是小于等于 α 的。反證，如果 x + (x) 不小于等于 α ，這就意味著， x + (x) 的左集合里有大于等于 α 的元素，或者 α 的右集合里有小于等于 x + (x) 的元素。根據(jù)加法的定義， x + (x) 的左集合是由所有可能的 xL構(gòu)成，但很容易看出，它們也都不可能大于等于 α 。把所有可能的 xL都列出來，就是 a + (x) 、 b + (x) 、 x + (c) ，而它們顯然都不可能大于等于 α ，因?yàn)樗鼈兊挠壹侠锒即嬖谛∮诘扔?α 的數(shù)—— a + (x) 的右集合里有一個(gè) a + (a) ， b + (x) 的右集合里有一個(gè) b + (b) ， x + (c) 的右集合里有一個(gè) c + (c) ，根據(jù)歸納假設(shè)，它們都小于等于 α 。同樣的方法可以證明 x + (x) 一定也是大于等于 α 的：否則， x + (x) 的右集合里將會(huì)存在小于等于 α 的元素，即所有可能的 xR當(dāng)中存在小于等于 α 的數(shù)，但這是不可能的，因?yàn)檫@些數(shù)的左集合里總會(huì)有形如 a + (a) 、 b + (b) 、 c + (c) 的數(shù)，根據(jù)歸納假設(shè)，它們都是大于等于 α 的。此時(shí)，一個(gè)神奇的想法突然冒了出來：如果我們把任意兩個(gè)互相之間都存在 ≤ 關(guān)系的數(shù)視為同一個(gè)元素，上面兩個(gè)問題不就一并解決了嗎？更具體地說，如果 a 和 b 同時(shí)滿足 a ≤ b 和 b ≤ a ，我們就說 a 和 b 是同一類數(shù)。于是，這個(gè)算術(shù)世界里的所有數(shù)就被劃分成了一個(gè)一個(gè)不交叉的類。既然這樣，我們何不把每一個(gè)類當(dāng)作一個(gè)元素，把之前那些運(yùn)算全都搬到類上，從而得到一個(gè)更合我們意的算術(shù)系統(tǒng)呢？呃……我們可以這么做嗎？且慢，這里面有個(gè)問題：究竟如何把之前那些運(yùn)算全都搬到類上？這個(gè)“搬”字用得太隨意了，我們要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜坍嬕幌隆５?，你怎么知道，不同的選法一定對(duì)應(yīng)相同的結(jié)果呢？好在，利用小于等于的傳遞性以及 x ≤ y ? x + z ≤ y + z 的性質(zhì)，我們可以證明，這種事情是不會(huì)發(fā)生的。事實(shí)上，在任何一個(gè)由 ≤ 、 ≥ 、 + 、 – 組成的表達(dá)式中，把某些數(shù)替換為與之同類的數(shù)，表達(dá)式都仍然是正確的。這個(gè)以類為元素的結(jié)構(gòu)完全符合有序域的定義中所有涉及到小于等于和加法運(yùn)算的條件，包括之前不成立的小于等于的反對(duì)稱性和加法逆元的存在性！為了完成這個(gè)有序域的構(gòu)造，我們只需要定義一個(gè)滿足有序域條件的乘法就行了。規(guī)定 x 和 y 的乘積 x y + x v | u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { u v – u y + x v | u ∈ L(x), v ∈ R(y) }