福建省福州市20xx屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)文試題-在線瀏覽
2025-01-14 13:19本頁面
【正文】 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分 又 CF? 平面 EFCB ，所以AO CF? ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分 （ 2）解：取 BC 的中點 G ，連接 OG ． 由題設(shè)知， OG BC? ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 分 由（ 1）知 AO? 平面 EFCB ，又 BC? 平面 EFCB ，所以 OA BC? ， 因為 OG OA O? ，所以 BC? 平面 AOG ．．．．．．．．． 8 分 過 O 作 OH AG? ，垂足為 H ，則 BC OH? ，因為 AG BC G? ，所以 OH? 平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．． ．．． 10 分 因為 3 , 3O G AO??，所以 62OH? ，即 O 到平面 ABC 的距離為 62 ．（另外用等體積法談亦可）．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分 20. （本小題 12 分） 解： 方法一： (1)如圖所示， 以 O 為坐標原點， OC 所在直線為 x 軸， 建立平面直角坐標系 分 由條件知 A(0, 60), C(170， 0)， 直線 BC 的斜率 kBC＝－ tan∠ BCO＝－ 43. 又因為 AB⊥ BC, 所以直線 AB 的斜率 kAB＝ 分 設(shè)點 B 的坐標為 (a， b)， 則 kBC＝ b－ 0a－ 170＝－ 43， kAB＝ b－ 60a－ 0 ＝ 34，解得 a＝ 80, b＝ 120， 4 分 所以 BC＝ （ 170－ 80） 2＋（ 0－ 120） 2＝ 150. 因此新橋 BC 的長是 150 分 (2)設(shè)保護區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m, OM＝ d m (0≤ d≤ 60)． 由條 件知， 直線 BC 的方程為 y＝－ 43(x－ 170)，即 4x＋ 3y－ 680＝ 0. 由于圓 M 與直線 BC 相切， 故點 M(0, d)到直線 BC 的距離是 r， 即 r＝ |3d － 680|42＋ 32 ＝ 680－ 3d5 .8 分 因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于 80 m，所以?????r－ d≥ 80，r－（ 60－ d） ≥ 80， 即?????680－ 3d5 － d≥ 80，680 － 3d5 －（ 60－ d） ≥ 80，解得 10≤ d≤ 分 故當 d＝ 10 時， r ＝ 680 － 3d5 最大， 即圓面積最大， 所以當 OM＝ 10 m 時， 圓形保護區(qū)的面積最大． 12 分 方法二： (1)如圖所示， 延長 OA, CB 交于點 F. 因為 tan∠ FCO＝ 43， 所以 sin∠ FCO＝ 45， cos∠ FCO＝ 35. 因為 OA＝ 60， OC＝ 170， 所以 OF＝ OC tan∠ FCO＝ 6803 ， CF＝ OCcos∠ FCO＝ 8503 ， 從而 AF＝ OF－ OA＝ 5003 . 因為 OA⊥ OC, 所以 cos∠ AFB ＝ sin∠ FCO＝ 45. 又因為 AB⊥ BC，所以 BF＝ AFcos∠ AFB＝ 4003 ， 從而 BC＝ CF－ BF＝ 150. 因此新橋 BC 的長是 150 分 (2)設(shè)保護區(qū)的邊界圓 M 與 BC的切點為 D，連接 MD，則 MD⊥ BC，且 MD 是圓 M的半徑，并設(shè) MD＝ r m， OM＝ d m (0≤ d≤ 60)． 因為 OA⊥ OC, 所以 sin∠ CFO＝ cos∠ FCO. 故由 (1)知 sin∠ CFO＝ MDMF＝ MDOF－ OM＝ r6803 － d＝ 35， 所以 r＝ 680－ 3d5 . 因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點 的距離均不少于 80 m， 所以?????r－ d≥ 80，r－（ 60－ d） ≥ 80， 即 ?????680－ 3d5 － d≥ 80，680－ 3d5 －（ 60－
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