【正文】 例如平均數(shù)、方差等 ) 去估計總體的相應數(shù)字特征． 變式訓練 1 ( 2022 廣東 ) 隨機抽取某中學甲、乙兩班各 10 名同學，測量他們的身高 ( 單位： c m) ，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示． (1) 根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均 身高較高； (2) 計算甲班的樣本方差； (3) 現(xiàn)從乙班這 10 名同學中隨機抽取兩名身高不低于173 c m 的同學，求身高 176 c m 的同學被抽中的概率． 思維啟迪 根據(jù)莖葉圖讀出各數(shù)據(jù)，然后根據(jù)公式計算平均值和方差． 解 ( 1) 由莖葉圖可知：甲班身高集中于 160 ～ 179 之間，而乙班身高集中于 170 ～ 180 之間，因此乙班平均身高高于甲班． ( 2) x ＝158 ＋ 162 ＋ 163 ＋ 168 ＋ 168 ＋ 170 ＋ 17 1 ＋ 179 ＋ 179 ＋ 18210 ＝ 170. 甲班的樣本方差 s2＝110[ ( 158 － 170)2＋ ( 162 － 170)2＋ ( 163 － 170)2＋ ( 168 － 170)2＋ ( 168 － 170)2＋ ( 170 － 170)2＋ ( 171 － 170)2＋ ( 179－ 170)2＋ ( 179 － 170)2＋ ( 182 － 170)2] ＝ . ( 3 ) 設(shè)身高為 1 7 6 cm 的同學被抽中的事件為 A ，從乙班10 名同學中抽中兩名身高不低于 1 7 3 cm 的同學有：( 1 8 1 , 1 7 3 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 8 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 9 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 3 ) ，( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 8 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 3 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 )共 10 個基本事件，而事件 A 含有 4 個基本事件：( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 ) ， ∴ P ( A ) ＝410＝25. 探究提高 ( 1 ) 本題考查了莖葉圖的識圖問題和平均數(shù)的計算，其中從莖葉圖中讀出數(shù)據(jù)是關(guān)鍵，為此，首先要弄清 “ 莖 ” 和 “ 葉 ” 分別代表什么． ( 2 ) 要熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、 平均數(shù)、方差、標準差的計算方法． 變式訓練 2 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A ，將其與原有的一個優(yōu)良品種 B 進行對照試驗，兩種小麥各種植了 25 畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù) ( 單位：千克 )如下： 品種 A ： 357,359,367,368,375,388,392,399 ， 400,405,412,414,415,421,423,423 ， 427,430,430,434,443,445,445,451,454 品種 B : 363,371,374,383,385,386,391,392 ， 394,394,395,397,397,400,401,401 ， 403,406,407,410,412,415,416 ， 422,430 (1) 完成 所附的 莖葉圖； (2) 用莖葉圖處理現(xiàn)在的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？ (3) 通過觀察莖葉圖，對品種 A 與 B 的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論． 解 ( 1 ) 莖葉圖如圖所示 . ( 2 ) 由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有 25 個，樣本不大，畫莖葉圖很方便．此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)． ( 3 ) 通過觀察莖葉圖可以看出： ① 品種 A 的畝產(chǎn)平均數(shù)( 或均值 ) 比品種 B 高； ② 品種 A 的畝產(chǎn)標準差 ( 或方差 )比品種 B 大，故品種 A 的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差． 題型三 線性回歸方程 例 3 某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實驗室每天每 100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12 月1 日 12 月2 日 12 月3 日 12 月4 日 12 月5 日 溫差 x ( ℃ ) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y ( 顆 ) 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的 2 組數(shù)據(jù)進行檢驗． (1) 求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； (2) 若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； (3) 若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2 顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問 (2) 中所得的線性回歸方程是否可靠？ 思維啟迪 ( 1) 問題屬古典概率，可先求兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率． ( 2) 求線性回歸方程，再驗證線性回歸方程的可靠性． 解 ( 1) 設(shè)事件 A 表示 “ 選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天的數(shù)據(jù) ” ，則 A 表示 “ 選取的數(shù)據(jù)恰好是相鄰2 天的數(shù)據(jù) ” ． 基本事件總數(shù)為 10 ，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 4. ∴ P ( A ) ＝410＝25， ∴ P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝35. ( 2) x ＝ 12 ， y ＝ 27 ， ∑4i ＝ 2xiyi＝ 9 77 ， ∑4i ＝ 2x2i＝ 434 ， ∴ b^ ＝∑4i ＝ 2xiyi－ 3 x y∑4i ＝ 2x2i－ 3 x2＝977 － 3 12 27434 － 3 122 ＝ ， a^ ＝ y － b^ x ＝ 27 － 12 ＝－ 3 ， ∴ y^ ＝ x － 3. ( 3) 由 ( 2) 知：當 x ＝ 10 時， y ＝ 22 ，誤差不超過 2 顆； 當 x ＝ 8 時， y ＝ 17 ，誤差不超過 2 顆． 故所求得的線性回歸方程是可靠的． 探究提高 ( 1) 正確理解計算 b^ 、 a^ 的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵． ( 2) 在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． 變式訓練 3 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x ( 噸 ) 與相應的生產(chǎn)能耗 y ( 噸標準煤 ) 的幾組對照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 3 4 ( 1) 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； ( 2) 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3) 已知該廠技改前 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標準煤．試根據(jù) ( 2) 求出的線性回歸方程預 測生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低 多少噸標準煤？ ( 參考數(shù)值： 3 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 ＝ ) 解 ( 1) 如下圖所示： ( 2) 由對照數(shù)據(jù)計算得， x ＝3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 64＝ ， y ＝ ＋ 3 ＋ 4 ＋ 4＝ ， ∑4i ＝ 1xiyi＝ 3 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 ＝ ， ∑4i ＝ 1x2i＝ 32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86 ， 所以由最小二乘法確定的系數(shù)為 ∴ b^ ＝∑4i ＝ 1xiyi－ 4 x 全國 ) 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了 500 位老年人，結(jié)果如下： 性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 ( 1) 估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老 年人的比例． ( 2) 能否有 99% 的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ ( 3) 根據(jù) ( 2) 的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由． 思維啟迪 (1) 用樣本估計總體．需要數(shù) 247。遼寧 ) 某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸 ( 單位： mm) 的值落在[ ， ) 的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了 500 件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表： 甲廠： 分組 [ ,) [ ,) [ ,] 頻數(shù) 12 63 86 分組 [ ,) [ ,) [ ,) 頻數(shù) 182 92 61 分組 [ ,) 頻數(shù) 4 乙廠： 分組 [ ,29 .90) [ ,29 .94) [ ,29 .98] 頻數(shù) 29 71 85 分組 [ ,30 .02) [ ,30 .06) [ ,30 .10) 頻數(shù) 159 76 62 分組 [ ,30 .14) 頻數(shù) 18 ( 1) 試分別估計兩個分廠生產(chǎn)零件的優(yōu)質(zhì)品率； ( 2) 由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面 2 2 列聯(lián)表，并問是否有99% 的把握認為 “ 兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異 ” ． 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 合計