【正文】 6）圖21給出了對(duì)于區(qū)間的幾何描述：圖21 區(qū)間的幾何描述區(qū)間的不確定性水平(uncertainty level)被定義為 （27）所以，利用區(qū)間描述優(yōu)化問題中參數(shù)的不確定性，其一般形式的非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題可以描述為： （28）式中，是維設(shè)計(jì)向量，其取值范圍為。和分別為多目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，它們都是關(guān)于和的非線性連續(xù)函數(shù)。因?yàn)槭悄繕?biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，并且的波動(dòng)范圍是在一個(gè)區(qū)間矢量之內(nèi)，所以對(duì)于任一確定的設(shè)計(jì)變量，其目標(biāo)函數(shù)或第個(gè)約束函數(shù)，由不確定參數(shù)區(qū)間引起的函數(shù)可能值都將構(gòu)成一區(qū)間。下面本文將給出不確定約束的和不確定目標(biāo)函數(shù)的處理方法，然后根據(jù)多目標(biāo)權(quán)值和罰函數(shù)等得出非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型。又可以寫成：， （29）式中 ，基于上述兩式，不確定水平可以寫成：其中，假設(shè)中所有變量的不確定水平都比較小，則可對(duì)不確定參數(shù)在其中點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開[13]： （210）屬于式中定義的區(qū)間向量，對(duì)上式進(jìn)行自然區(qū)間擴(kuò)展： （211）由此可知，的上界、下界分別分別為： （212） （213） 區(qū)間可能度和不確定約束的轉(zhuǎn)換對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以通過它們的具體數(shù)值來比較其大小關(guān)系，但是對(duì)于區(qū)間數(shù)來說，因?yàn)樗硎镜氖且粋€(gè)實(shí)數(shù)的集合，所以無法通過使用單個(gè)的實(shí)數(shù)值來判斷一個(gè)區(qū)間是否大于（優(yōu)于）另一個(gè)區(qū)間。為了將區(qū)間數(shù)比較的概念表達(dá)清晰，本文把區(qū)間數(shù)比較的數(shù)學(xué)方法歸納成兩類[14]：一類稱為“區(qū)間序關(guān)系”(order relation of interval number)，常用于定性地判斷一個(gè)區(qū)間是否大于（或優(yōu)于）另一區(qū)間；另一類稱為“區(qū)間可能度”(possibility degree of interval number)，常用于定量地描述一個(gè)區(qū)間大于（優(yōu)于）另一區(qū)間的具體程度。針對(duì)如圖22所示的三種位置情況，區(qū)間大于等于的可能度構(gòu)造如下[14]： （214）上式中，假設(shè)區(qū)間和在各自的區(qū)間內(nèi)都服從均勻分布的隨機(jī)變量和，通過計(jì)算隨機(jī)變量大于等于的概率獲得可能度。在和之間的概率為，在和之間的概率為，最終可得在此情況，的概率為：相應(yīng)地，的可能度為[14]： （215） 圖22 區(qū)間和三種位置關(guān)系在上述構(gòu)造方法中，通過引入概率的方法，使得區(qū)間可能度本身的數(shù)學(xué)含義更具直觀性，而且其客觀性得到了進(jìn)一步的加強(qiáng)，這對(duì)于決策者的理解和使用都有很大的幫助。2) 并未考慮有一區(qū)間退化為實(shí)數(shù)的可能情況，而此情況在實(shí)際的區(qū)間數(shù)優(yōu)化中是十分常見的問題，所以這種方法的實(shí)用性在一定程度上也因此受到了影響?？紤]區(qū)間和的所有可能的情況，可以歸納為6種不同的位置關(guān)系，如圖23所示。3) 若，則表示區(qū)間小于等于區(qū)間。5) 若，則。根據(jù)以下的位置關(guān)系，區(qū)間可能度構(gòu)造如下： （217）在上式可能度的構(gòu)造中，只有區(qū)間被假設(shè)為服從均勻分布的隨機(jī)變量，的概率被視為可能度。圖24 區(qū)間和實(shí)數(shù)的三種位置關(guān)系圖25 區(qū)間和實(shí)數(shù)的三種位置關(guān)系圖26 區(qū)間可能度和的幾何描述 基于區(qū)間可能度的不確定約束的轉(zhuǎn)換在區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題中，一般使區(qū)間不確定約束滿足一定的可能度水平，這種方法常在線性區(qū)間數(shù)的優(yōu)化中，被用來處理不等式約束，此處將其擴(kuò)展至非線性的區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題[3]。為不確定性在X處由不確定參數(shù)而造成的可能取值的區(qū)間： （220）其中，、分別約束區(qū)間的下界和上界，即： ， （221）對(duì)式(221)進(jìn)行自然區(qū)間擴(kuò)展，可獲得約束函數(shù)的上下界： （222）一旦求出的區(qū)間值，即可通過公式(216)或公式(217)來求解約束可能度（依據(jù)是區(qū)間還是實(shí)數(shù)的具體情況），并判斷約束可能度是否滿足提前給定的可能水平。對(duì)于含不確定參數(shù)的等式約束的處理方法，本文提出了一種將其轉(zhuǎn)換為不等式約束進(jìn)行處理的方法。通過以上對(duì)可能度的處理，可以將式(28)中的不確定約束被轉(zhuǎn)換成為確定性約束，并可以用如下的統(tǒng)一形式表示： （227）在上式中，因?yàn)椴淮_定等式約束的存在，使得要預(yù)先給定兩個(gè)可能度水平，故kl。 區(qū)間序關(guān)系轉(zhuǎn)換模型 區(qū)間序關(guān)系區(qū)間序關(guān)系用于定性地判斷一區(qū)間是否優(yōu)于或者劣于另一區(qū)間，通常在區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題中用于處理帶有不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)。由于在區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題中，需要比較在不同的設(shè)計(jì)變量下目標(biāo)函數(shù)取值區(qū)間的優(yōu)劣，進(jìn)而評(píng)價(jià)相應(yīng)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)劣，以尋找到最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量。文獻(xiàn)[16]總結(jié)了目前常用的幾種區(qū)間序關(guān)系，對(duì)于最大化和最小化優(yōu)化問題它們具有如下形式[16]：1) 區(qū)間序關(guān)系：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對(duì)區(qū)間上、下邊界的偏好。，并且僅當(dāng)， （最大化優(yōu)化問題），并且僅當(dāng)， （230），并且僅當(dāng)， （最小化優(yōu)化問題），并且僅當(dāng)， （231）3）區(qū)間序關(guān)系：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對(duì)區(qū)間下界和中點(diǎn)的偏好。，并且僅當(dāng) （最大化優(yōu)化問題），并且僅當(dāng)， （234），并且僅當(dāng) （最小化優(yōu)化問題），并且僅當(dāng)， （235）5）區(qū)間序關(guān)系：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對(duì)區(qū)間上界的偏好。因?yàn)閺墓こ痰慕嵌葋砜?，相比其它幾種區(qū)間序關(guān)系而言，具有更加直觀的工程意義和更好的工程實(shí)用性，所以在本文的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型中選用來處理不確定性目標(biāo)函數(shù)。因此，我們希望找到一個(gè)最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量，使得不確定目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間具有最小的中點(diǎn)值和最小的半寬值，則式(28)中的不確定性目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成為如下確定性目標(biāo)函數(shù)： （241）上式中，對(duì)于任一設(shè)計(jì)變量，需要根據(jù)在不確定目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間的基礎(chǔ)上計(jì)算其中點(diǎn)和半寬。通過優(yōu)化，表示在某種意義上是提高目標(biāo)函數(shù)在不確定性下的“平均設(shè)計(jì)性能”；而的最小化可以降低目標(biāo)函數(shù)對(duì)于不確定性的敏感程度，從而保證系統(tǒng)設(shè)計(jì)的魯棒性。但為方便后續(xù)傳統(tǒng)優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解，此處采用線性加權(quán)法[3]將上式進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成一個(gè)單目標(biāo)的優(yōu)化問題： （246）上式中，函數(shù)是多目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)，是多目標(biāo)權(quán)系數(shù)，ξ是為了使和這兩個(gè)式子全都是非負(fù)數(shù)的參數(shù)，和叫做正則化因子，理論上可通過如下優(yōu)化過程獲得： （247）在實(shí)際工程系統(tǒng)的應(yīng)用中，上述兩個(gè)參數(shù)可以根據(jù)具體問題，大致取與各自目標(biāo)同一量級(jí)的值即可，以防止“大數(shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象的發(fā)生[3]。因?yàn)樵诒疚闹?，我們將采用遺傳算法來求解此類問題，而在遺傳算法的求解過程中可以直接在算法中設(shè)定而并不需要把它們當(dāng)做約束來處理。在上式中，σ為罰因子，一般要取較大的數(shù)值，θ為罰函數(shù)，可表示如下： （249） 本章小結(jié)本章針對(duì)一般的區(qū)間數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題，提出了一種區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型，將不確定優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成確定性優(yōu)化，進(jìn)而可以利用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法來求解。第3章 NSGAII算法第3章 NSGAII算法 NSGAII算法的簡(jiǎn)介多目標(biāo)遺傳算法是用來分析和解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種進(jìn)化算法，其核心就是協(xié)調(diào)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，找出使得各個(gè)目標(biāo)函數(shù)都盡可能達(dá)到比較大的（或比較小的）函數(shù)值的最優(yōu)解集。在其出現(xiàn)以后，由于它簡(jiǎn)單有效以及比較明顯的優(yōu)越性，使得該算法已經(jīng)成為多目標(biāo)優(yōu)化問題中的基本算法之一。這種思想已經(jīng)產(chǎn)生了多種基于Pareto最優(yōu)解的多目標(biāo)遺傳算法，其中非支配排序遺傳算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithm）——NSGA算法是最能體現(xiàn)Goldberg思想的一種方法。NSGA算法的高效性在于運(yùn)用了一個(gè)非支配分類的程序，使得多目標(biāo)簡(jiǎn)化至一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的方式。NSGA通過基于非支配排序的方法保留了種群中的優(yōu)良個(gè)體，并且利用適應(yīng)度共享函數(shù)保持了群體的多樣性，取得了非常良好的效果。非支配排序算法一般要進(jìn)行次搜索(是目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，是種群的大小)，搜索的次數(shù)隨著目標(biāo)函數(shù)數(shù)量和種群大小的增加而增多。研究結(jié)果表明，引用精英策略可以加快遺傳算法(GA)的執(zhí)行，并且還助于防止優(yōu)秀的個(gè)體丟失。正是因?yàn)橐獙?duì)共享參數(shù)要作額外的工作，所以就需要一種不依賴共享參數(shù)的方法。2) 引入了精英策略，擴(kuò)大了采樣空間。并且通過對(duì)種群所有個(gè)體分層存放，使得最佳個(gè)體不會(huì)丟失，能夠迅速提高種群水平。 快速非支配排序法在NSGA算法中采用的是非支配排序方法，該方法的計(jì)算復(fù)雜度是O（），而在NSGAII算法中采用快速非支配排序的方法，其計(jì)算復(fù)雜度僅為O（）。當(dāng)這一步驟完成之后，繼續(xù)找出第一個(gè)非支配層上的所有個(gè)體，這需要遍歷整個(gè)種群，其總的計(jì)算復(fù)雜度就是O（）。可以看到，在最壞的情況下(每一層級(jí)上只有一個(gè)個(gè)體)，完成對(duì)整個(gè)種群所有個(gè)體的分級(jí)，這種算法的計(jì)算復(fù)雜度為O（）。1) 找出種群中所有的個(gè)體，將它們存入當(dāng)前非支配集合中；2) 對(duì)于當(dāng)前非支配集合中的每一個(gè)個(gè)體，遍歷它所支配的個(gè)體集合，將集合中每一個(gè)個(gè)體的都減去1，即支配個(gè)體的解的個(gè)體數(shù)量減1(因?yàn)橹鋫€(gè)體的個(gè)體j已經(jīng)存入當(dāng)前非支配集中)，如果，則將個(gè)體存入另一個(gè)集H；3) 把作為第一級(jí)非支配個(gè)體的集合，所以在中的解個(gè)體是最優(yōu)的。每一次迭代操作，即上述快速非支配排序算法步驟的1)和2)需要N次計(jì)算。這樣，整個(gè)快速非支配排序算法的計(jì)算復(fù)雜度就是：根據(jù)上述快速非支配排序算法的步驟，相應(yīng)的偽代碼為[16]： 對(duì)于種群P：fast nondominated sort(P) for