基于matlab的數(shù)值計算中的優(yōu)化技術畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-08-14 18:11本頁面
【正文】 高精度數(shù)值積分算法 7 龍貝格求積公式 8第三章 線性方程組的求解 10 10 線性方程組的迭代法 11 Jacobi迭代法 11 GaussSeidel迭代法 12 SOR迭代法 13第四章 各種求積公式的MATLAB編程實現(xiàn)與應用 14 對數(shù)值積分運行結(jié)果及其分析 14 數(shù)值積分運行結(jié)果 14 數(shù)值積分運行結(jié)果分析 15 線性方程組運行結(jié)果及其分析 15 線性方程組運行結(jié)果 15 線性方程組運行結(jié)果分析 16附錄 17參考文獻 23致 謝 24第一章 前言數(shù)值計算是有效使用數(shù)字計算機求數(shù)學問題近似解的方法與過程，以及由相關理論構(gòu)成的學科。從數(shù)學類型分，數(shù)值運算的研究領域包括數(shù)值逼近、數(shù)值微分和數(shù)值積分、數(shù)值代數(shù)、最優(yōu)化方法、常微分方程數(shù)值解法、積分方程數(shù)值解法、偏微分方程數(shù)值解法、計算幾何、計算概率統(tǒng)計等。優(yōu)化是人們尋求的目標，數(shù)值計算中優(yōu)化技術采用的好，能從時間與空間上得到巨大的好處。 在研究基于matlab在數(shù)值計算中的優(yōu)化技術有很多方面求數(shù)值積分就是具有代表性的一點。另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，對這類函數(shù)的定積分，也不能用不定積分方法求解。通過這個課題的研究，我們將會更好地掌握運用數(shù)值積分算法求特殊積分函數(shù)的定積分的一些基本方法、理論基礎；并且通過matlab軟件編程的實現(xiàn)，得出計算數(shù)值積分的最優(yōu)化的方法，并應用于實際生活中。所以采用積分的幾何意義來設計出積分公式從而求出近似值。因此，如果能給出求平均值的一種近似方法，相應地就可以得到計算定積分的一種數(shù)值方法。若取為插值多項式，則相應得到的數(shù)字微分公式就是插值型求積公式把區(qū)間等分，其分點為、過這個節(jié)點，可以構(gòu)造一個次插值多項式： 其中，用代替被積分函數(shù)則有 其中。 梯形求積公式 在牛頓科特斯求積公式中，如果取，用一次多項式代替被積函數(shù)，即用梯形面積代替曲邊梯形的面積，則有其中，,查表可得代入上式得出 稱式為梯形求積公式根據(jù)牛頓科特斯求積公式的誤差理論，梯形求積公式的誤差估計為是被積函數(shù)二階導數(shù)在點的取值，辛浦生求積公式 在牛頓科特斯求積公式中，如果取，用二次多項式代替被積函數(shù)，即曲邊用拋物線代替，則有其中，,查表可得，代入上式得出 稱式為辛浦生求積公式，也稱拋物線求積公式。同理可求得其誤差估計式 復化求積公式在上一節(jié)求積分的過程只是求粗約的近似值，所以應根據(jù)積分的可加性，可以將區(qū)間分為許多部分使得積分值更加接近精確值，從而優(yōu)化了梯形積分公式，辛普生積分公式和科特斯積分公式，這就是復化求積分公式的思想。記為 復化梯形公式的截斷誤差 在辛普生積分公式上加以復化可以得到復化辛普生積分公式。用Simpson公式求積分，得到 式就稱為復化辛浦生求積公式。在求積分時步長的大小 也會影響到積分的效果，步長太長積分值就不會太精確，步長太短則會增加許多的運算量。在計算器中編程計算結(jié)果要花費大量的時間。 龍貝格求積公式梯形法的算法簡單，單精度低，收斂的速度緩慢。由梯形的遞推法可以看出，將積分區(qū)間等分時，用復化梯形公式計算的結(jié)果作為積分的近似值，其誤差近似值為。直接根據(jù)復化求積公式，不難驗證 這說明，將區(qū)間對分前后兩次復化梯形公式的值，作線性組合恰好等于復化辛浦生公式的值，它比更接近于近似值。上述用若干個積分近似值推算出更為精確的積分近似值的方法，稱為外推方法。由龍貝格序列當然還可以繼續(xù)進行外推，得到新的求積序列。也就是說，將收斂速度緩慢的梯形序列逐步加工成收斂速度越來越快的序列。利用龍貝格序列求積的算法稱為龍貝格算法。因此，成為實際中常用的求積方法。 第三章 線性方程組的求解上一章講述了有關于優(yōu)化技術在數(shù)值積分計算方法的應用，為了更加體現(xiàn)優(yōu)化技術的應用本章將會討論優(yōu)化技術在線性方程組中的應用。很多數(shù)值方法到最后也會涉及到線性方程組的求解問題：如樣條插值的M和m關系式，曲線擬合的法方程，方程組的Newton迭代等問題。一般地設階線性方程組為表示成矩陣形式其中 ， ，為系數(shù)矩陣高斯消元法是按照消元和回代兩個過程。高斯消元法的基本思想：首先將A化為上三角陣，再回代求解 得第二步 得 類似下去我們有 第步 n－1步以后，我們可以得到變換后的矩陣為：從此再回代可以 解出線性方程組的解。 線性方程組的迭代法 Jacobi迭代法設階線性方程組的系數(shù)非奇異（nonsigular），且。稱由迭代式建立的迭代法為Jacobi迭代法。實際上，在計算分量時，最新的分量，已經(jīng)算出，但沒有被利用，而且，如果Jacobi迭代收斂，最新算出的分量一般比的精度更高。 SOR迭代法為了提高收斂速度，對GaussSeidel迭代法進一步用GaussSeidel迭代公式計算得到第個近似解 將前一步迭代值與GaussSeidel迭代值做加權平均，即 ，其中是參數(shù)，整理得 此式稱為松弛迭代法，其中參數(shù)為松弛因子當時，式稱為超松弛法；當時，式稱為低松弛法；當時，式就是GaussSeidel。第四章 各種求積公式的MATLAB編程實現(xiàn)與應用 對數(shù)值積分運行結(jié)果及其分析 不同的方法計算出來的積分求值的結(jié)果不同，所以一下針對進行求解，運用不同的方法得到近似值，余項以及運行程序所需要的時間，在精度不同的情況下，再進行分析判斷出哪個方法最優(yōu)。從運行的結(jié)果可以看出梯形積分公式和辛普生積分公式運行的結(jié)果都差不多，但是科特斯公式運行的結(jié)果較為準確，但是運行的時間相比科特斯積分公式的時間比較長。這是因為梯形公式、辛普生公式是低精度公式，但對被積函數(shù)的光滑性要求不高，他對對被積分光滑性較差的積分很有效。高階科特斯求積分公式穩(wěn)定性差，收斂較慢。但是相比之下，龍貝格積分公式是
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