【正文】 m個(gè)不同的k值，則一共要計(jì)算mm個(gè)距離系數(shù){djk , j, k = 1,2,…,m}。限于本教材的撰寫目的和篇幅，其它社會選舉函數(shù)不再一一列舉，有興趣的讀者可參閱書后所列的參考文獻(xiàn)。顯然，這里不存在能以簡單多數(shù)勝出的候選人。(2) Borda函數(shù)：abcfB a－332558b27－4269c3518－53結(jié)論：b a c。 社會福利函數(shù)福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是西方的一種經(jīng)濟(jì)學(xué)派，主要研究社會資源和商品的分配理論與方法，旨在發(fā)現(xiàn)某種合理的社會結(jié)構(gòu)，以使由資源和商品產(chǎn)生的社會福利達(dá)到最大。早期的社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)對候選人或事所處狀態(tài)的描述采用的都是序數(shù)型變量，即排序比較方法。為此，其它學(xué)者作出了種種假設(shè)，旨在將序數(shù)型的社會福利函數(shù)改寫成基數(shù)型的效用函數(shù)，從而發(fā)展為現(xiàn)代的多屬性群決策理論與方法。定義12. 2 設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元函數(shù)。(2) R是連通的當(dāng)且僅當(dāng)：。(3) R是不循環(huán)的當(dāng)且僅當(dāng)：不存在 ，使得式中∧是邏輯與的符號。(5) R是一個(gè)弱序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)：R是連通的和可傳遞的。社會福利函數(shù)f是將決策者個(gè)人在方案集A上的獨(dú)立序關(guān)系合成為決策群體D在A上的總序關(guān)系R的法則，亦即f是從積空間R m到空間R的一個(gè)映射，記為?, ? 或 定義12. 4 對于A中的任意方案x, y，當(dāng)決策者Di認(rèn)為x ?i y, x ～i y和x ?i y時(shí)，分別記 R i = 1, 0 和－1。，(1) 可決策性：指由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則對于選民的每一種選擇意向都應(yīng)該能得到一個(gè)有意義的、唯一的決策結(jié)果。(3) 平等性：避免某一個(gè)決策成員享有高于其它決策成員的權(quán)力，體現(xiàn)了一人一票的選舉原則。(5) 均分性：當(dāng)某一個(gè)決策者認(rèn)為方案x和方案y無差異時(shí)，可設(shè)想該決策者被一分為二，其中的半個(gè)人投票贊成x，另外半個(gè)人投票贊成y。(6) Pareto最優(yōu)性(也稱為全體一致性)：當(dāng)所有的人都選擇x時(shí)，則x勝，當(dāng)所有的人都選擇y時(shí)，則y勝。Arrow 在群決策理論上的重大貢獻(xiàn)之一是為社會福利函數(shù)規(guī)定了一組看起來非?？尚诺墓砗蜅l件，從而導(dǎo)出了群決策理論上著名的不可能性定理。公理2 傳遞性：對于方案集中的任意方案，如果決策者認(rèn)為，則必有。條件2 (正相關(guān)性) 如果社會福利函數(shù)f給出x優(yōu)于y的結(jié)果，則當(dāng)決策者對x以外的方案進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果不變，且對x與其它方案之間的比較結(jié)果對x而言沒有任何不利時(shí)，社會福利函數(shù)的結(jié)果將維持不變。條件4 (Pareto 最優(yōu)性) 對于A中的任意方案，必須有某些決策者認(rèn)為優(yōu)于時(shí)，才有可能導(dǎo)致群體的選擇結(jié)果是優(yōu)于。定理12. 1 沒有任何一個(gè)社會福利函數(shù) 能同時(shí)滿足上面的兩條公理和五個(gè)條件。其中最有代表性的幾種形式是：MassColell和Sonnenschein (1972), Gibbard (1973) 和Satterthwaite (1975), Parks (1976) 和Pollak (1979) 以及Grether和Plott (1982)。感興趣的讀者可以查閱后面的參考文獻(xiàn)或Kelly(1978) 和Fishburn (1987) 對此所作的精辟論述。從條件本身來說，Goodman和Markowitz(1952) 曾用下面的例子說明了Arrow條件的局限性。但如果主人還進(jìn)一步知道甲的喜好是咖啡勝于茶，茶勝于可可，可可勝于牛奶；但乙的喜好是不僅茶勝于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都勝于咖啡。這說明表面上看起來似乎無關(guān)的方案(在此為可可、牛奶和白水)對于群決策的集成法則并不是完全無關(guān)的，因而Arrow 定義的條件3 對社會福利函數(shù)而言并非絕對適當(dāng)。這里，決策集有限和無限的差別在于，原不可能性定理中獨(dú)裁者的角色可以從幕前轉(zhuǎn)到幕后。以Goodman和Markowitz的例子來說，如果客人甲和乙各自對咖啡和茶的喜愛程度可以被量化，即用某種統(tǒng)一的尺度去衡量的話，譬如甲對咖啡的喜愛是8個(gè)單位，對茶的喜愛是6個(gè)單位，而乙對茶的喜愛是10個(gè)單位，對咖啡的喜愛是2個(gè)單位，則主人不難決定待客的飲料以茶為宜。只要經(jīng)過簡單的變換，基數(shù)型的社會福利函數(shù)很容易轉(zhuǎn)化成所謂的的效用函數(shù)。12. 2 群效用函數(shù)基于群效用函數(shù)作出的決策并不是一種簡單的多數(shù)規(guī)則，它包含了更多個(gè)人效用的信息和人與人之間的效用的比較。如果群效用函數(shù)為已知，則群決策問題就可以寫成下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：為了便于構(gòu)造群效用函數(shù)，Keeney和Raiffa(1976)為群效用函數(shù)的存在提出了某些必要的條件，并在此基礎(chǔ)上定義了群效用函數(shù)的加法模型和乘法模型。條件2 如果群中每個(gè)決策成員都認(rèn)為某兩個(gè)方案是無差異的，則決策群也認(rèn)為這兩個(gè)方案是無差異的。定理12. 2 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中是群中第i個(gè)成員的個(gè)人效用函數(shù)，而是的權(quán)值。條件2 如果群中所有的決策成員除第i個(gè)成員外都認(rèn)為所有方案無差異，則群效用函數(shù)是第i個(gè)個(gè)人效用函數(shù)的正線性變換。條件3 如果群中所有的決策成員除第i個(gè)和第j個(gè)成員外都認(rèn)為所有方案無差異，則決策群體對這些方案的偏好僅取決于第i和第j個(gè)成員的偏好。Keeney(1974)已經(jīng)證明：當(dāng)時(shí)，群效用函數(shù)應(yīng)采用加法模型；當(dāng)時(shí)，群效用函數(shù)應(yīng)采用乘法模型。這為解決群決策問題提供了重要的理論基礎(chǔ)。我們在下一節(jié)將介紹如何將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的多屬性決策方法移植過來，用以解決群決策問題。群效用函數(shù)的集成對象是所有個(gè)人效用函數(shù)的效用值，但個(gè)人效用的獲取過程并沒有涉及。設(shè)有方案集A = {A1, A2, …, Am}和決策群體D = {D1, D2, ..., Dn}。不同決策者考察的屬性及采用的權(quán)值可以相同，也可以不同。不同之處在于多屬性決策的決策矩陣是唯一的，它反映了決策者對多個(gè)屬性的偏好結(jié)構(gòu)；而群決策的決策矩陣有許多個(gè)，分別代表了不同決策者的決策意愿，其偏好結(jié)構(gòu)互不相同，但都應(yīng)受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏廢。那么，求解群決策問題的關(guān)鍵在于：(1) 如何表示每一位決策者的個(gè)人優(yōu)先關(guān)系；(2) 如何將個(gè)人優(yōu)先關(guān)系合成為群優(yōu)先關(guān)系；(3) 是先合成、后評價(jià)，還是先評價(jià)、后合成？這里，前者是先將不同決策者就方案屬性作出的評價(jià)綜合到一起，然后選用已知的多屬性決策方法統(tǒng)一求解，其實(shí)質(zhì)是將一個(gè)群決策問題整體轉(zhuǎn)化為一個(gè)獨(dú)裁決策問題，它要求所有的決策者采用相同的屬性和屬性權(quán)值以方便合成；后者是由每一位決策者先按照自己的意愿分別對相應(yīng)的多屬性決策問題進(jìn)行求解，其結(jié)果歸結(jié)為社會選舉問題，然后采用本章討論的社會選舉函數(shù)作出最終的選擇，其實(shí)質(zhì)是將一個(gè)群決策問題分解成若干個(gè)獨(dú)裁決策問題，該方法對不同決策者考察的屬性和采用的屬性權(quán)值不強(qiáng)求一致。因?yàn)樯婕皟煞N數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(序數(shù)型和基數(shù)型)和兩種合成順序(先合成和后合成)，兩兩組合共有四種不同的決策程序，現(xiàn)通過實(shí)例分別介紹如下。對每一實(shí)驗(yàn)都要從需要性(C1)、研究性(C2)和發(fā)展性(C3)三個(gè)方面進(jìn)行評價(jià)。其評定結(jié)果為：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A454