【正文】 ???nnnnnnDrCBrAr????上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 球面鏡腔可以等效為周期透鏡波導(dǎo) L L R1 R2 R1 復(fù)雜腔的等效周期透鏡波導(dǎo)及往返矩陣 l 1l 2l 3?l1 l2 l3 l1 l2 l3 ???????????????????????????????????????????????????110110111011011101101332211flflfl上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 二、共軸球面鏡腔的穩(wěn)定條件 Q：在什么條件下，傍軸光線能在腔內(nèi)往返任意多次而不橫向逸出腔外 ？ —— 穩(wěn)定腔 幾何光學(xué)光線矩陣分析腔中幾何偏折損耗，判斷穩(wěn)定與否 ? ?? ? ???????????????????? 1s i ns i ns i ns i n1s i ns i ns i n1nnDnCnBnnAT n? ?DA ?? 21a r c c o s?共軸球面鏡腔 的穩(wěn)定判據(jù) 121 ? DAAn, Bn, Cn, Dn 矩陣元 有界 ，說明光線經(jīng)過 n次不逸出 腔外， 關(guān)鍵因子 ? 應(yīng) 為實數(shù) ， 且不等于 k? 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 非穩(wěn)定腔 傍軸光線有限次反射后便逸出腔外 ? 幾何偏折損耗大 (高損耗腔 ) ? 共軸球面鏡腔 兩反射鏡為球面鏡 , 有共同光軸 凹面鏡 R 0。 平面鏡 R＝ ∞ ? 穩(wěn)定條件 : 幾何偏折損耗 穩(wěn)定腔 任何 傍軸光線 可以在腔內(nèi)往返無限多次不會 逸出腔外 ?幾何偏折損耗小 (低損耗腔 ) 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 討論 ： ? ? ??? 121 DA 實數(shù) ， An, Bn, Cn, Dn 有界 ? 穩(wěn)定腔 (1) ? ? ??? 121 DA 復(fù)數(shù) ， n??An, Bn, Cn, Dn? ?非穩(wěn)定腔 (2) ? ? ? ? ?? kDADA ???????? 121121(3) k為奇數(shù) (1) k為偶數(shù) (+1) ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????? ?111121 1nDnCnBnnAnTDA nn? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????? ?111121 1nDnCnBnnAnTDA nnK為奇數(shù) K為偶數(shù) 且隨 n的增大發(fā)生周期性的變化 隨 n的增大按指數(shù)增大 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) ? 臨界腔的典型例子 1. 平行平面鏡腔 ( R = ? ) 3. 共心腔 R1+R2=L 臨界腔 非穩(wěn)腔 ?????????1021 LnT n111 2??????nn Lnrr11100rrrnn?????? 穩(wěn)定腔 2. 對稱共焦腔 R1=R2=L ???????????1001nT 往返兩次自行閉合 穩(wěn)定腔 M 1 M 2M 1 M 2R 1 R 2? ? ? ? ? ? 121 121 121 臨界腔非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔； ????? DADADA 適用任何形式的腔 ,只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性 非對稱共焦腔？ R1+R2=2L 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 221111RLgRLg????? ? 1211 ?? DA221RLA ??? ?????????????? ????????? ????21121212RLRLRLD? ?21221222121RRLRLRLDA ?????111021???????? ????????? ?RLRL 10 21 gg臨界腔，非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；或 10 0 ,1 0,0 10212121212121????gggggggggggg? 只適用于簡單的共軸球面鏡腔 (直腔 ) 要求掌握： 給定 R1,R2， 根據(jù)穩(wěn)定條件，確定使諧振腔 處于穩(wěn)定的腔長允許值范圍 穩(wěn)定判據(jù)另一表達(dá)式 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 任意傍軸光線均可在腔內(nèi)往返無限多次而不致橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返即可自行閉合。但所有非軸線方向行進(jìn)的光線在經(jīng)有限次往返后，必然逸出腔外。 平行平面腔 對稱共焦腔 共心腔 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 大多數(shù)臨界腔，其性質(zhì)介于穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔之間。在這種意義上，共焦腔屬于 穩(wěn)定腔 。 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 167?？梢云陬A(yù)，經(jīng)過有限次往返后，光場的分布不再受衍射的影響。此穩(wěn)態(tài)場經(jīng)一次往返后，唯一可能變化的是鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后。自再現(xiàn)模一次往返的能量損耗稱為 模的往返損耗 ；一次往返所經(jīng)歷的相移稱為 往返相移 ，為 k?2?—— 模的諧振條件。在通過每一個孔闌時光將發(fā)生衍射，射到孔的范圍以外的光將被屏吸收（對應(yīng)于損耗） 開腔模式形成的定性解釋 模擬開腔中自再現(xiàn)模的形成過程 橫模產(chǎn)生的物理原因 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 過程 ：一均勻平面波垂直入射到第一個孔闌時，波的強(qiáng)度均勻分布在孔面上。由于衍射發(fā)生在鏡的邊緣附近，當(dāng)波到第二個孔時，邊緣部分的強(qiáng)度比中心小，且已不是等相位面。當(dāng)通過足夠多的孔闌后，鏡面上場的振幅和相位分布不再發(fā)生變化。 ?自在現(xiàn)模的形成與初始入射波的形狀無關(guān)，任何初始入射波也能形成自在現(xiàn)模。 如果在第一孔面上的光是非相干的，由于衍射，第二個孔面上任一點的波應(yīng)該看作是第一個孔面上個所有各點發(fā)出的子波的疊加（惠更斯 菲涅耳原理），即在第二個孔面上各點波的相位有關(guān)聯(lián)，經(jīng)過足夠多的衍射后，光束橫截面上各點的相位關(guān)聯(lián)越密，空間相干性越強(qiáng)。 ? ? ? ? ? ? sdeyxuikyxuiks???????????? c o s1,4,S曲面上光場分布函數(shù) 各子波源發(fā)出的球面波 傾斜因子 ｋ為波矢的模； ρ 為源點u(x’ ,y’ )與觀察點 u(x,y) 之間連線的長度； θ 為 Ｓ 面上點 (x’ ,y’ )處法線 ｎ 與上述連線的夾角； ｄｓ ′為Ｓ 面上點 (x’ ,y’ )處的面積元 ， 積分沿整個 Ｓ 面進(jìn)行 。 首先，假定在某鏡面上存在一個初始場分布 u1，將其代入上式，計算 u2， u3, u4等。1 dsKuuSjj ????...1,1121?????jjjjuuuu??如果直接數(shù)值計算得到了這種穩(wěn)定的場分布，則可認(rèn)為找到了腔的一個自在現(xiàn)?；驒M模。 求解問題：初始入射波函數(shù) u1如何選擇？ u1?1，即認(rèn)為整個鏡面為等相位面，鏡面上各點波的振幅均為 1。 300次渡越后形成自再現(xiàn)模。 —— 此特征的橫模為腔的最低階偶對稱?；蚧?。 ??mn ? ? ? 模的單程損耗 ? 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 3. 單程相移 ? mn－自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移 ??????11a r gua r gua r gmnjjmn????? ?jji uue???? 11 ?? ???幾何相移 根據(jù)諧振條件 ??? qmn ?當(dāng) ?mn得知 , 可求得模的諧振頻率 ??????? ?????????? LkLmn 2附加相移 ?自再現(xiàn)模在往返過程中形成穩(wěn)定振蕩場的條件：光在腔內(nèi)一次往返的總相移 =2?的整數(shù)倍，即 開腔自再現(xiàn)模的諧振條件 ???? qa r g ??1上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) ?復(fù)常數(shù) ? 的模 —— 量度自在現(xiàn)模的單程損耗， ? 它的輻角 —— 量度自在現(xiàn)模的單程相移， ? 從而可以決定模的諧振頻率。其中的復(fù)常數(shù) ?的模量度自在現(xiàn)模在腔內(nèi) 往返一次 的 功率損耗 ， ?的輻角量度自在現(xiàn)模的 往返相移 ，從而決定模的諧振頻率。 方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模 xY2afL0+a+aaa XYR 1R 222??????aLLaaL??? 分離變量法 ? ? ? ? ? ? sdey,xVLiy,xV y,x,y,xik ???? ????? ???? ? ? ?yxyxikeLiyxyxK ????? , ??? ? ? ? ? ?yyxxyxyx yx ????? , ???? ? ? ? ? ?yyKxxKyxyxK ????? ,？ ？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????????? aa yyaa xxydyVyyKyVxdxVxxKxVyVxVyxV,??上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) (a)以矩形平面腔鏡為例 鏡的變長 2a ? 2b，腔長 L， La, b ? 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 考慮 ?、 a和 L間數(shù)量關(guān)系，將上節(jié)方程式的 K展開，并舍去高階項，從而可進(jìn)一步簡化方程。(239。(2139。39。,39。(239。(2)39。,()39。)39。,()(39。()39。且兩個方程的形狀完全一樣。 v(y)代表在 y方向?qū)挾葹?2b而沿 x方向 無限延伸的條狀腔的自再現(xiàn)模。我們可以 vm(x)和 vn(y)分別表示它的第 m個和第 n個解 , ?m， ?n表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則： 39。()39。)39。,()(dyyvyyKyvdxxvxxKxvnybbnnmxaamm????????整個鏡面上的自再現(xiàn)模場分布函數(shù)為： )y(v)x(v)y,x(v nmmn ?相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為： nmmn ??? ?（ 2321） 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 上面的式子在數(shù)學(xué)上稱為 積分本征值 問題。 v