【正文】 CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90176。后得CF，連接EF．（1）補(bǔ)充完成圖形；（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90176?！唷螪CE+∠ECF=90176?！唷螪CE+∠BCD=90176?！唷螮FC=90176。．【例3】如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題目所給條件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；(2)根據(jù)AB∥CD可得∠BAC＝∠DCA，根據(jù)AF＝CE可得AE＝FC，然后再證明△ABE≌△CDF即可．【自主解答】(1)解：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB．(2)證明：△ABE≌△CDF.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)．方法總結(jié)：根據(jù)題目給出的條件和圖形中隱含的條件，分析哪些三角形全等，再根據(jù)三角形全等的判定方法證明即可．【變式練習(xí)】 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連結(jié)BD．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件AB＝CD或∠A＝∠C或∠ADB＝∠CBD，使△ABD≌△CDB(只需寫一個(gè))．如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　AH=CB等（只要符合要求即可）　，使△AEH≌△CEB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】開放型題型，根據(jù)垂直關(guān)系，可以判斷△AEH與△CEB有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，就只需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC=∠AEC=90176。﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90176。﹣∠CHD=∠BCE，所以根據(jù)AAS添加AH=CB或EH=EB；根據(jù)ASA添加AE=CE．可證△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，連接BE，DF（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全原形；（2）求證：BE=DF．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）如圖所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS證得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可．【解答】（1）解：如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F(xiàn)分別是OA、OC的中點(diǎn)，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO與△DFO中，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P．（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據(jù)已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90176?！逥P⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90176?！唷鰽QB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【例4】如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45176?！唿c(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴FD=AB，∵∠ABE=45176?！螧AD+∠ABC=90176。即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB，根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證△BGE與△BCF相似，進(jìn)一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90176。∴∠BGE=90176。∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯(cuò)誤．故選：B．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，設(shè)∠AEM=α（0176。），給出下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（　?。〢．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】①作輔助線EF⊥BC于點(diǎn)F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，所以BM與CN的長(zhǎng)度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到結(jié)論正確；③經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面積的和和差進(jìn)行計(jì)算，用數(shù)值代換即可．【解答】解：①如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90176?！唷螦EM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①錯(cuò)誤，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正確，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正確，④如圖，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）AB﹣AEAM﹣BNBM=（AE+BC﹣CN）2﹣AEAM﹣（BC﹣CN）CN=（AE+BC﹣CF+FN）2﹣AEAM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AEAM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AEAM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題是全等三角形的性質(zhì)和判定題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形面積的計(jì)算銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是Rt△AME≌Rt△FNE，難點(diǎn)是計(jì)算S△EMN．【例5】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90176。＜θ＜90176。時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H. ①求證：BD⊥CF； ②當(dāng)AB＝2，AD＝3時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形——等腰三角形的現(xiàn)性質(zhì)、特殊的平行四邊形——正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判判定和性質(zhì)【思路分析】（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90176。AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①證