【正文】 +23+34+…+(n1)n=[123+233+343+…+(n1)n3]={123+23(41)+34(52)+…+(n1)n[n+1(n2)]}==： 【分析與解】 雖然很容易看出可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)檫@不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)．我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我們又有減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)”呢?=======7．計(jì)算下列式子的值：【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們?cè)囍纯词欠翊嬖谶f推的規(guī)律.顯然12+1=2。3=29103116176=7358.第3講 多位數(shù)的運(yùn)算多位數(shù)的運(yùn)算，涉及利用＝10k1，提出公因數(shù)，遞推等方法求解問(wèn)題． 一、＝10k1的運(yùn)用 在多位數(shù)運(yùn)算中，我們往往運(yùn)用＝10k1來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題； 如：59049 我們把轉(zhuǎn)化為247。3）59049=59049=（1）19683=1968319683 而對(duì)于多位數(shù)的減法，我們可以列個(gè)豎式來(lái)求解； +1 如：，于是為． 簡(jiǎn)便計(jì)算多位數(shù)的減法，我們改寫這個(gè)多位數(shù)．原式=233=23=（1）==,于是為.2．計(jì)算－=AA，求A． 【分析與解】 此題的顯著特征是式子都含有，從而找出突破口. －=－ =（1） =（） =（33）=A2 所以，A＝. 3．計(jì)算25的乘積數(shù)字和是多少? 【分析與解】我們還是利用=來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創(chuàng)造條件使用：25=[（）][（）+1]25=[（）][（）+1]25=[22][2（）+1]25=[422]==10050=(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注)=所以原式的乘積為那么原式乘積的數(shù)字和為12004+52004=12024．評(píng)注：對(duì)于的計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)．====4．計(jì)算的積?【分析與解】 我們先還是同上例來(lái)湊成；＝＝＝＝＝(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注) 我們知道能被9整除，商為：049382716． 又知1997個(gè)4，9個(gè)數(shù)一組，共221組，還剩下8個(gè)4，則這樣數(shù)字和為84=32,加上后面的3，則數(shù)字和為35，于是再加上2個(gè)5，數(shù)字和為45，可以被9整除． 能被9整除，商為04938271595； 我們知道能被9整除，商為：061728395； 這樣9個(gè)數(shù)一組，共221組，剩下的1995個(gè)5還剩下6個(gè)5，而6個(gè)5和1個(gè)、6，數(shù)字和36，可以被9整除． 能被9整除，商為0617284． 于是，最終的商為： 評(píng)注：對(duì)于計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)． ＝+1＝+1＝. 二、提出公因式有時(shí)涉及乘除的多位數(shù)運(yùn)算時(shí)，我們往往需提出公因式再進(jìn)行運(yùn)算，并且往往公因式也是和式或者差式等．：（1998+19981998+199819981998+…）247。［1999（1+10001+100010001+…）］1999＝1998247。(1+16％56％)=8400(臺(tái))．2．圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用71．5元．問(wèn)圓珠筆的單價(jià)是每支多少元? 【分析與解】:設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為204+213=143，則單位“1”247。=240只，即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只． 4．用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40％；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙．這批紙一共有多少?gòu)? 【分析與解】 方法一：裝訂120本，剩下40％的紙，即用了60％的紙． 那么裝訂185本，需用185(60％247。7．5％=18000張． 方法二：120本對(duì)應(yīng)(140％=)60％的總量，那么總量為120247。15=90張，那么200本需20090=18000張．即這批紙共有18000張． 5．有男女同學(xué)325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5％，總?cè)藬?shù)增加16人．那么現(xiàn)有男同學(xué)多少人? 【分析與解】男生增加25人，女生減少5％，而總?cè)藬?shù)增加了16人，說(shuō)明女生減少了2516=9人，那么女生原來(lái)有9247。=72(人)． 則新一班與新二班人數(shù)總和是7230=42(人)． 現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份． 新一班人數(shù)=42 =22(人)，新二班人數(shù)=4222=20(人)． (原一班人數(shù))(原二班人數(shù))=(2220)247。2=48(人)．11．有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：①第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的；②在第一包糖中，奶糖占25％，在第二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍．當(dāng)兩包糖合在一起時(shí)，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析與解】表述1：設(shè)第一包有2粒糖，則第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，則第一包有4粒巧克力糖． 28％，所以28％=20％．于是第一包中，巧克力糖占=40％，水果糖占140％25％=35％．在兩包糖總粒數(shù)中，水果糖占44％．表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c． 那么有22c+3c=28％(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有如下所示的每種糖所占的百分?jǐn)?shù)．所以水果糖占總數(shù)的(35％2+50％3)247。(+1)=18人； 由④知甲校獲一等獎(jiǎng)的有606050％18=12人， 從而所求百分?jǐn)?shù)等于12247。5100％=24％，即乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的24％．13．①某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等．②已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；③四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1．那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少? 【分析與解】表述1：由②知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1．③知，四至九班的男生總數(shù)比七、八、九班總?cè)藬?shù)少1． 因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、七、八、九共五個(gè)班的人數(shù)，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)．所以，男、女生之比是5：4． 表述2： ． 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即為一至九班全體男生數(shù)，恰為“二、三班總?cè)藬?shù)”加上“四、五、六班總?cè)藬?shù)”，即為五個(gè)班總?cè)藬?shù)，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)．所以，男、女生之比是5：4．14．某商品按原定價(jià)出售，每件利潤(rùn)為成本的25％；后來(lái)按原定價(jià)的90％出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價(jià)前增加了1．5倍．問(wèn)后來(lái)每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了百分之幾? 【分析與解】設(shè)這種商品的成本為“1”，共賣出商品“1”，則利潤(rùn)為25％，總利潤(rùn)為0．25，定價(jià)為1．25． 那么按原定價(jià)的90％出售， 90％=，(+1)=，=，247。b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比．二、比和比例在行程問(wèn)題中的體現(xiàn)在行程問(wèn)題中，因?yàn)橛兴俣?，所以：當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比；當(dāng)一組物體行走時(shí)間相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)路程的正比．1．A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)數(shù)．【分析與解】方法一：設(shè)A為8x，則B為5x，于是有(8x34):(5x34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85．方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A 、B的差不變，開始時(shí)差占3份，后來(lái)差占1份且與B一樣多，也就是說(shuō)減少的34，占開始的31=2份，所以開始的1份為34247。所以影子的長(zhǎng)度與桿子的長(zhǎng)度比為：175：70=．于是，影子的長(zhǎng)度為6++=，247。21=，．即第一、二、：5：=25：20：6．7．現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問(wèn)：男、女工各多少人?【分析與解】 直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過(guò)方程求解，過(guò)程會(huì)比較繁瑣．設(shè)開始男工為“1”，此時(shí)女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女工．男工、女工人數(shù)對(duì)調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工“k2”，女工為“I”． 有k2：1=36：25，所以k=． 于是，開始有男工數(shù)為1100=500人，女工600人．8．有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對(duì)準(zhǔn)．若已知在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針都分別重合，且在從3月15日開始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘時(shí)針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?【分析與解】 標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘每隔分鐘重合一次． 假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘． 于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了x次； 同理，乙鐘重合了x次； 于是，需要乙鐘比甲鐘多重合xx=x=10。=144天． 新一隊(duì)與新二隊(duì)的工作效率之比為： 新一隊(duì)干后一個(gè)工程需6247。)=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420247。34=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程． 現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42247。=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天． 所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成． 4．一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半．現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，則共用了多少天? 【分析與解】 甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。(1+l+)＝3(天)，因此共用32＝6(天)． 5．抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？ 【分析與解】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的； 由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的－－＝. 所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1247。==10(小時(shí))． 7．一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成? 【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、. 對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，所以甲、丁合作的工作效率為．所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程． 8．一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對(duì)于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為． 而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率為－＝ 那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1247。2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為． 那么丙單獨(dú)工作的工作效率為－＝，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天． 9．某工程如果由第3小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第4小隊(duì)合干需要42天才能完成．那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程? 【分析與解】 由已知條件可得，對(duì)于工作效率有： (3)+(5)+2(5)+(4)=3(5)．所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為： （＋＋2＋）247。18=. 以下采用兩種方法： 方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此18+“1”=27+“”，則“”=9噸，所以“1”=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水． 所以水箱最多可容納18+36=54噸的水． 方法二：也就是說(shuō)甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的． 再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水．