[理學(xué)]8-3多元函數(shù)的全微分-在線瀏覽
2025-03-08 14:35本頁(yè)面
【正文】 量： )()( xfxxfy ?????xxfy ??? )(d（當(dāng)一元函數(shù) y = f (x)可導(dǎo)時(shí)） 二元函數(shù) z = f (x,y)： ),(),( yxfyxxfzx ?????（當(dāng)二元函數(shù) z = f (x, y) 對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)） )(),( xοxyxf x ????對(duì) x的偏增量 對(duì) x的偏微分 )( xoxA ????一、全微分的概念 1. 問(wèn)題的提出 ),(),( yxfyyxfzy ????? 對(duì) y的偏增量 對(duì) y的偏微分 )(),( yοyyxf y ????（當(dāng)二元函數(shù) z = f (x, y) 對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)） ),(),( yxfyyxxfz ???????在點(diǎn) (x,y)的全增量 問(wèn)題 yx ?? 、 的線性函數(shù)來(lái) 近似代替函數(shù)的全增量？ 可否用自變量的增量 如果函數(shù) z = f ( x, y )在點(diǎn) ( x , y )處的 可表示成 ,)( ρoyBxAz ??????其中 A , B 不依賴于 ? x , ? y , 僅與 x , y 有關(guān)， 稱為函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfz ????? dd則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn) ( x, y) 可微 ， 全增量 2. 全微分的定義 定義 1176。 若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微 , 則稱此函數(shù) 2176。 從而 二、可微的條件 若 z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微 , 則 證 1. 可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)的關(guān)系 ,0?? y令)( xoxA ????得到對(duì) x 的偏增量 xx ?? x(2) 由可微定義，有 ),(lim)0,0(),(yyxxfyx???????zyx???? )0,0(),(lim 0?),( yxf?? ?)()(lim 0 ρoyBxAρ ????? ?從而 .),(),( 處連續(xù)在點(diǎn)即 yxyxfz ?(1) )()( ρoyBxAz ??????1176。 可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)的關(guān)系 對(duì)于 多元 函數(shù)， 可微 連續(xù) 可偏導(dǎo) 3176。 當(dāng) )0,0(),( ?yx 時(shí)， ?),( yxf x ,1c o s)(1s i n22322222 yxyxyxyxy????當(dāng)點(diǎn) ),( yxP 沿直線 xy ? 趨于 )0,0( 時(shí) , ),(lim00yxf xxyx???)||2 1c o s||22||2 1s i n(lim 330 xxxxxx ?? ?不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) . 同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) . ,)()( 22 yxρ ??下面證明： )0,0()
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