【正文】 ，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小題：設3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小題：設log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)2，解得－2y1，所以x∈(log,log3)。（93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）【分析】 由S＝x＋y聯(lián)想到cosα＋sinα＝1,于是進行三角換元，設代入①式求S和S的值。sinαcosα＝5 解得 S＝ ；∵ 1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤∴ ＋＝＋＝＝此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1?！玖斫狻?由S＝x＋y，設x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 則xy＝177。5=5， 移項平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值換元的思路，設x＝＋t、y＝－t，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。例2． △ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值?！钡男再|，可得 ；由“A＋C＝120176?！窘狻坑伞鰽BC中已知A＋C＝2B，可得 ,由A＋C＝120176?！玖斫狻坑葾＋C＝2B，得A＋C＝120176。所以＋＝－＝－2，設＝－＋m，＝－－m ，所以cosA＝，cosC＝，兩式分別相加、相減得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝?！?、“＋＝－2”分別進行均值換元，隨后結合三角形角的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。B＝60176。cosx－2a的最大值和最小值。cosx得：sinx ∴ f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為。cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法?！咀ⅰ繎镁植繐Q元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。【解】 設＝＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝設＝t，則t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝177。【另解】 由＝＝tgθ，將等式②兩邊同時除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，設tgθ＝t，則3t—10t＋3＝0，∴t＝3或， 解得＝177?！咀ⅰ?第一種解法由＝而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。例6. 實數(shù)x、y滿足＋＝1，若x＋y－k0恒成立，求k的范圍?！窘狻坑桑?，設＝cosθ，＝sinθ，即： 代入不等式x＋y－k0得：3cosθ＋4sinθ－k0，即k3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k5時不等式恒成立。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x＋y－k0的區(qū)域。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k3時原不等式恒成立。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調增區(qū)間是______。A. 85 B. C. 60 D. 4. 已知x＋4y＝4x，則x＋y的范圍是_________________。6. 不等式ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。8. 在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。10. 已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線x＋y＝2 (x0,y0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：① 利用對應系數(shù)相等列方程；② 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③ 利用定義本身的屬性列方程；④ 利用幾何條件列方程。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 設f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。5. 與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,4)的直線L’的方程是_______________。【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！咀ⅰ?在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。 y B’ x A F O’ F’ A’ B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a ∴ 解得： ∴ 所求橢圓方程是：＋＝1也可有垂直關系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質推證出等腰Rt△B’O’F’，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于a－c的等式。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式13＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立。整理得：,解得，于是對n＝3，等式13＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設對n＝k時等式成立，即13＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；當n＝k＋1時，13＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是說，等式對n＝k＋1也成立。【注】建立關于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。2＋2例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數(shù)，將實際問題轉化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！?盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x0，7－x0，x0。 從而V＝(－)(－x)x≤()＝27＝576?！咀ⅰ烤挡坏仁綉脮r要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|1，則a的取值范圍是_____。A. 1 B. －1 C. p＋q D. 無法確定 3. 如果函數(shù)y＝sin2x＋aA. B. － C. 1 D. －14. 滿足C＋1C＋…＋nA. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數(shù)列{a}的前n項和為S＝a－ , 則所有項的和等于_____。7. 經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,2)的直線方程為_____________。過底面一邊作截面，使其與底面成30176。9. 設y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，A∪B的元素個數(shù)為n，則______。角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。A. －1a1 B. a1 C. a0 D. a－1或a14. 橢圓＋＝1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_____。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側棱與底面成45176。【簡解】1小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復數(shù)模的定義得，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到＝e＝，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(－)＝f()＝－f(－)，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。（94年全國理）【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定義解答。由題設條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；根據(jù)復數(shù)相等的定義，得：，解得。利用復數(shù)相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復數(shù)中經(jīng)常遇到的。【分析】要判斷函數(shù)的單調性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調性定義判斷。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】關于函數(shù)的性質：奇偶性、單調性、周期性的判斷，一般都是直接應用定義解題。例3. 如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點。（94年全國理）【分析】 由線面平行的定義來證①問，即通過證AB’平行平面DBC’內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問。設AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝sin60176。即二面角D—BC’—C的度數(shù)為45176。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個垂足OH，則∠DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。此題文科考生的第二問為：假設AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側面BB’C’C的 射影長。其解法如下：作AE⊥BC于E，連接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。 y M F A x例4. 求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到＝建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x－1）＋＝1，所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x－1）＋＝1。本題還引入了一個參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動點坐標所滿