【正文】 的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng) ⊙ B 第一次與 ⊙ O 相切時(shí)，請(qǐng)判斷直線 l 與 ⊙ B 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由： （ 3）如圖 2，過(guò) A、 O、 C 三點(diǎn)作 ⊙ O1，點(diǎn) E 是 ⊙ O1 上任意一點(diǎn)，連接 EC、 EA、 EO． ①若點(diǎn) E 在劣弧 OC 上，試說(shuō)明： EA﹣ EC= EO； ②若點(diǎn) E 在優(yōu)弧 OAC 上， ①的結(jié)論中 EC、 EA、 EO 的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由？若不成立，請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論． 29．在 Rt△ ABC 中， ∠ A=90176。求得 ∠ A+∠ ABC=90176。即可得到結(jié)論； （ 2）連接 BD，過(guò) D 作 DH⊥ BF 于 H，由弦且角定理得到 ∠ BDE=∠ BCD，推出 △ ACF 與△ FDB 都是等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 FH=BH= BF=1，則 FH=1，根據(jù)勾股定理得到 HD= =3，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論． 【解答】 （ 1）證明：連接 OD， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 ∵∠ BOD=2∠ BCD， ∠ A=2∠ BCD， ∴∠ BOD=∠ A， ∵∠ AED=∠ ABC， ∴∠ BOD+∠ AED=90176。 即 OD⊥ DE， ∴ DE 與 ⊙ O 相切； （ 2）解：連接 BD，過(guò) D 作 DH⊥ BF 于 H， ∵ DE 與 ⊙ O 相切， ∴∠ BDE=∠ BCD， ∵∠ AED=∠ ABC， ∴∠ AFC=∠ DBF， ∵∠ AFC=∠ DFB， ∴△ ACF 與 △ FDB 都是等腰三角形， ∴ FH=BH= BF=1，則 FH=1， ∴ HD= =3， 在 Rt△ ODH 中， OH2+DH2=OD2， 即（ OD﹣ 1） 2+32=OD2， ∴ OD=5， ∴⊙ O 的半徑是 5． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 2．（ 2022?錦州）如圖，已知 △ ABC， ∠ ACB=90176。 AC＜ BC，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， ∴ CD= AB=AD， ∴ ， ∴ DM⊥ AC， ∴ DM∥ BC， ∵ DF⊥ BC， ∴ DF⊥ DO， ∴ DF 為 ⊙ O 的切線； （ 2）解：由（ 1）得： AC∥ DF， ∵ 點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， ∴ DF= AC=， CF=BF= BC=， 作 ON⊥ CE 于 N，連接 OA，如圖 2 所示： 則 CN=EN= CE， AM=CM=ON=DF=， 設(shè) ⊙ O 的半徑為 r， 在 △ AOM 中，由勾股定理得： r2+（ ﹣ r） 2=r2， 解得 ： r=， ∴ CN=EN=OM=﹣ =2， ∴ CE=4， ∴ EF=﹣ 4=， ∴ DE= = = ． 【點(diǎn) 評(píng)】 本題考查了切線的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理，垂徑定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，由勾股定理求出半徑是解決問(wèn)題（ 2）的關(guān)鍵． 3．（ 2022?蘭州）如圖， △ ABC 是 ⊙ O 的內(nèi)接三角形， AB 是 ⊙ O 的直徑， OD⊥ AB 于點(diǎn) O，分別交 AC、 CF 于點(diǎn) E、 D，且 DE=DC． （ 1）求證： CF 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 5， BC= ，求 DE 的長(zhǎng)． 【分析】 （ 1）連接 OC，欲證明 CF 是 ⊙ O 的切線，只要證明 ∠ OCF=90176。 ∵ DE=DC， ∴∠ DEC=∠ DCE， ∵∠ AEO=∠ DEC， ∴∠ AEO=∠ DCE， ∴∠ OCE+∠ DCE=90176。 ∴ OC⊥ CF， ∴ CF 是 ⊙ O 切線． （ 2）作 DH⊥ AC 于 H，則 ∠ EDH=∠ A， ∵ DE=DC， ∴ EH=HC= EC， ∵⊙ O 的半徑為 5， BC= ， ∴ AB=10， AC=3 ， ∵△ AEO∽△ ABC， ∴ = ， ∴ AE= = ， ∴ EC=AC﹣ AE= ， ∴ EH= EC= ， ∵∠ EDH=∠ A， ∴ sin∠ A=sin∠ EDH， ∴ = ， ∴ DE= = = ．， 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考?？碱}型． 4．（ 2022?宿遷）如圖 1，在 △ ABC 中，點(diǎn) D 在邊 BC 上， ∠ ABC： ∠ ACB： ∠ ADB=1： 2：3， ⊙ O 是 △ ABD 的外接圓． （ 1）求證： AC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）當(dāng) BD 是 ⊙ O 的直徑時(shí)（如圖 2），求 ∠ CAD 的度數(shù)． 【分析】 （ 1）連接 AO，延長(zhǎng) AO 交 ⊙ O 于點(diǎn) E，則 AE 為 ⊙ O 的直徑，連接 DE，由已知條件得出 ∠ ABC=∠ CAD，由圓周角定理得出 ∠ ADE=90176。由角的關(guān)系和已知條件得出 ∠ ABC=176。 ∴∠ EAD=90176。﹣ ∠ CAD， 即 ∠ EAD+∠ CAD=90176。 ∴∠ ABC+∠ ADB=90176。 ∴∠ ABC=176。． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定、圓周角定理、角的互余關(guān)系；熟練掌握切線的判定方法，由圓周角定理得出直角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 5．（ 2022?菏澤）如圖，直角 △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O，點(diǎn) D 是直角 △ ABC 斜邊 AB 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 作 AB 的垂線交 AC 于 E，過(guò)點(diǎn) C 作 ∠ ECP=∠ AED， CP 交 DE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P，連結(jié) PO 交 ⊙ O 于點(diǎn) F． （ 1）求證： PC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 PC=3， PF=1，求 AB 的長(zhǎng)． 【分析】 （ 1）連接 OC，欲證明 PC 是 ⊙ O 的切線，只要證明 PC⊥ OC 即可． （ 2）延長(zhǎng) PO 交圓于 G 點(diǎn)，由切 割線定理求出 PG 即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1）如圖，連接 OC， ∵ PD⊥ AB， ∴∠ ADE=90176。 ∴ PC⊥ OC， ∴ PC 是 ⊙ O 切線． （ 2）延長(zhǎng) PO 交圓于 G 點(diǎn)， ∵ PF PG=PC2， PC=3， PF=1， ∴ PG=9， ∴ FG=9﹣ 1=8， ∴ AB=FG=8． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中 考常考題型． 6．（ 2022?荊州）如圖， A、 F、 B、 C 是半圓 O 上的四個(gè)點(diǎn)，四邊形 OABC 是平行四邊形，∠ FAB=15176。根據(jù)圓周角定理得到 ∠ AOF=∠ BOF=30176。解直角三角形得到 BD= BC= AB，推出 AE= AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得 EF=2﹣ ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）連接 OB， ∵ OA=OB=OC， ∵ 四邊形 OABC 是平行四邊形， ∴ AB=OC， ∴△ AOB 是等邊三角形， ∴∠ AOB=60176。 ∴∠ BOF=30176。 ∴ OF⊥ AB， ∵ CD∥ OF， ∴ CD⊥ AD， ∵ AD∥ OC， ∴ OC⊥ CD， ∴ CD 是半圓 O 的切線； （ 2） ∵ BC∥ OA， ∴∠ DBC=∠ EAO=60176。 ∴ = = ， 解得： OA=2． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接 OB 構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 7．（ 2022?本溪）如圖， △ ABC 中， AB=AC，點(diǎn) E 是線段 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ED⊥ AB，垂足 為 D， ED 交線段 AC 于點(diǎn) F，點(diǎn) O 在線段 EF 上， ⊙ O 經(jīng)過(guò) C、 E 兩點(diǎn)，交 ED 于點(diǎn) G． （ 1）求證： AC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ∠ E=30176。根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)已知條件得到 ∠ CFO=30176。 ∴∠ B+∠ E=90176。 ∴∠ ACO=90176。 ∴∠ OCE=30176。 ∴∠ CFO=30176。 ∴ DF= = ， ∵ BD=5， ∴ DE=5 ， ∵ OF=2OC， ∴ EF=3OE=4 ， ∴ OE= ， 即 ⊙ O 的半徑 = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 8．（ 2022?茂名）如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。 FG⊥ BC，可得 FG∥ AC，又由 ∠OFE= ∠ A，易得 EF 平分 ∠ BFG，繼而證得 OE∥ FG，證得 OE⊥ BC，則可得 BC 是 ⊙ O的切線； （ 2）由在 △ OBE 中， sinB= ， ⊙ O 的半徑為 r，可求得 OB， BE 的長(zhǎng)，然后由在 △ BFG 中，求得 BG， FG 的長(zhǎng)，則可求得 EG 的長(zhǎng)，易證得 △ EGH∽△ FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案． 【解答】 （ 1）證明：連接 OE， ∵ 在 △ ABC 中， ∠ C=90176。 ∴ FG∥ AC， ∴∠ OFG=∠ A， ∴∠ OFE= ∠ OFG， ∴∠ OFE=∠ EFG， ∵ OE=OF， ∴∠ OFE=∠ OEF， ∴∠ OEF=∠ EFG， ∴ OE∥ FG， ∴ OE⊥ BC， ∴ BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解： ∵ 在 Rt△ OBE 中， sinB= ， ⊙ O 的半徑為 r， ∴ OB= r， BE= r， ∴ BF=OB+OF= r， ∴ FG=BF?sinB= r， ∴ BG= = r， ∴ EG=BG﹣ BE= r， ∴ S△ FGE= EG?FG= r2， EG： FG=1： 2， ∵ BC 是切線， ∴∠ GEH=∠ EFG， ∵∠ EGH=∠ FGE， ∴△ EGH∽△ FGE， ∴ =（ ） 2= ， ∴ S△ EHG= S△ FGE= r2． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵． 9．（ 2022?宜賓）如圖 1，在 △ APE 中， ∠ PAE=90176。 ∵∠ PAE=90， ∴∠ OHP=∠ OAP， ∵ PO 是 ∠ APE 的角平分線， ∴∠ APO=∠ EPO， 在 △ PAO 和 △ PHO 中 ， ∴△ PAO≌△ PHO， ∴ OH=OA， ∵ OA 是 ⊙ O 的半徑， ∴ OH 是 ⊙ O 的半徑， ∵ OH⊥ PE， ∴ 直線 PE 是 ⊙ O 的切線． （ 2）如圖 2，連 接 GH， ∵ BC， PA， PB 是 ⊙ O 的切線， ∴ DB=DA， DC=CH， ∵△ PBC 的周長(zhǎng)為 4， ∴ PB+PC+BC=4， ∴ PB+PC+DB+DC=4， ∴ PB+AB+PC+CH=4， ∴ PA+PH=4， ∵ PA， PH 是 ⊙ O 的切線， ∴ PA=PH， ∴ PA=2， 由（ 1）得， △ PAO≌△ PHO， ∴∠ OFA=90176。 ∵∠ OAP=90176。 ∴∠ APO=∠ EAH， ∵ tan∠ EAH= ， ∴ tan∠ APO= = ， ∴ OA= PA=1， ∴ AG=2， ∵∠ AHG=90176。而 ∠ CDA=∠ CBD，∠ CBD=∠ ODB，于是 ∠ CDA+∠ ADO=90176。 ∴∠ ADO+∠ ODB=90176。 即 ∠ CDO=90176。求 ∠ CDP 的度數(shù)； （ 2）如圖 2，若點(diǎn) P 位于（ 1）中不同的位置，（ 1）的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明你的理由． 【分析】 （ 1）連接 OC，則 ∠ OCP=90176。求得 ∠ COP，再由 OA=OC，得出 ∠ A=∠ ACO，由 PD 平分 ∠ APC，即可得出 ∠ CDP=45176。．再根據(jù) PD 是 ∠ CPA 的平分線，得 ∠ APC=2∠APD．根據(jù) OA=OC，可得出 ∠ A=∠ ACO，即 ∠ COP=2∠ A，在 Rt△ OCP 中， ∠ OCP=90176。從而 得出 ∠ CDP=∠ A+∠ APD=45176。． ∵∠ CPA=30176。 ∵ OA=OC， ∴∠ A=∠ ACO=30176。 ∴∠ CDP=∠ A+∠ APD=45176。． ∵ PD 是 ∠ CPA 的平分線， ∴∠ APC=2∠ APD． ∵ OA=OC， ∴∠ A=∠ ACO， ∴∠ COP=2∠ A， 在 Rt△ OCP 中， ∠ OCP=90176。 ∴ 2（ ∠ A+∠ APD） =90176。． 即 ∠ CDP 的大小不發(fā)生變化． 【點(diǎn)評(píng)】 本