【正文】 x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ??? ??122z x x??max . 123 2 1yy? ? ?12,0yy ?122w y y??min . 12,yy則對偶問題為 12 2yy??12 0yy??由 知， 12,0yy ?第一個約束 可知對偶問題無 條件不成立， 可行解。 由無界性定理可知 ， 原問題 有無界解，即無最優(yōu)解。 ? ( 1 , , )jx j n? ? ( 1 , , )iy i m?*11?nnj j j jjjc x c x?????1m in m iiiw b y?? ?1 1 , ,0 1 , ,mi j i jiia y c j ny i m?????? （ ）（ ） .（ D ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）??? njjj xcz1m a x1 1 , ,0 1 , ,nij j ijja x b i mx j n?????? （ ）（ ） .（ P ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）設 和 分別是 P和 D的 最優(yōu)解： * ( 1 , , )jx j n? * ( 1 , , )iy i m?*11?mmi i i iiib y b y?????因此 ?**1 1 1 1? ?n n m mj j j j i i i ij j i ic x c x b y b y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?第 30頁 互補松弛性 定理：設 和 分別是原問題和其對偶問題的最優(yōu)解 ， * ( 1 , , )jx j n? * ( 1 , , )iy i m?*1nij j ija x b???若對偶變量 ，則原問題相應的約束條件 * 0iy ?1m inmiiiw b y?? ?1 1 , ,0 1 , ,mi j i jiia y c j ny i m?????? （ ）（ ） .（ D ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）???njjj xcz1m a x1 1 , ,0 1 , ,nij j ijja x b i mx j n?????? （ ）（ ） .（ P ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）若約束條件 ，則相應的對偶變量 * 0iy ?*1nij j ija x b???第 31頁 互補松弛性 定理：設 和 分別是原問題和其對偶問題的最優(yōu)解 ， * ( 1 , , )jx j n? * ( 1 , , )iy i m?*1nij j ija x b???若對偶變量 ，則原問題相應的約束條件 * 0iy ?1m inmiiiw b y?? ?1 1 , ,0 1 , ,mi j i jiia y c j ny i m?????? （ ）（ ） .（ D ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）???njjj xcz1m a x1 1 , ,0 1 , ,nij j ijja x b i mx j n?????? （ ）（ ） .（ P ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）若約束條件 ，則相應的對偶變量 * 0iy ?*1nij j ija x b???* * *1 1 1()n n mj j i j i jj j ic x a y x? ? ??? ? ?* * *1 1 1()m m ni i i j j ii i jb y a x y? ? ??? ? ?**11nmj j i ijic x b y?????* * *1 1 1()m m ni i i j j ii i jb y a x y? ? ??? ? ?**11( ) 0mnij j i iija x b y??????? ?第 32頁 互補松弛性 定理：設 和 分別是原問題和其對偶問題的最優(yōu)解 ， * ( 1 , , )jx j n? * ( 1 , , )iy i m?*1nij j ija x b???若對偶變量 ，則原問題相應的約束條件 * 0iy ?若約束條件 ，則相應的對偶變量 * 0iy ?*1nij j ija x b???*1nij j ija x b???若 ，則 * 0iy ?若 ，則 * 0iy ?*1nij j ija x b???*1mij i jia y c???若 ，則 * 0jx ?若 ，則 * 0jx ?*1mij i jia y c???第 33頁 例 利用互補松弛定理求最優(yōu)解 *1nij j ija x b???若 ，則* 0iy ?若 ，則* 0iy ?*1nij j ija x b???*1mij i jia y c???若 ，則* 0jx ?若 ，則* 0jx ?*1mij i jia y c???若 ，則若 ，則 若 ，則若 ，則若 ，則若 ，則 若 ，則若 ，則1 2 31 2 31 2 3 2 102 2 16 , , 0x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ??1 2 334z x x x? ? ?max . 已知原問題的最優(yōu)解是 * ( 6 , 2 , 0 ) T?X求對偶問題的最優(yōu)解。 對偶變量為 1 2 32 3 1y y y? ? ?1 2 30 , 0 ,y y y?? 無 約 束1 2 324w y y y? ? ?min . 1 2 3, , ,y y y則對偶問題為 1 2 33 4y y y? ? ?1 2 35 6 3y y y? ? ? ?設對偶問題的最優(yōu)解為 * * * *1 2 3( , , ) ,Ty y y?Y*1nij j ija x b???若 ，則* 0iy ?若 ，則* 0iy ?*1nij j ija x b???*1mij i jia y c???若 ，則* 0jx ?若 ，則* 0jx ?*1mij i jia y c???若 ，則若 ，則 若 ，則若 ，則若 ，則若 ，則 若 ，則若 ，則將 代入原問題約束條件得 *X解： * * *1 2 3* * *1 2 3* * *1 2 32 3 5 20 23 6 24 1 4 4x x xx x xx x x? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??由互補松弛性知 **12 0,yy?? 又 * * *1 2 35 6 3y y y? ? ? ?故對偶問題的最優(yōu)解為 * ( 0 , 0 , 3 ) ,T?Y * 12.?w得 *3 3,y ?第 35頁 例 利用互補松弛定理求最優(yōu)解 已知其對偶問題的最優(yōu)解是 1 2 3 4 51 2 3 4 5 2 3 42 3 30 , 1 , 2 , , 5jx x x x xx x x x xxj? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ???1 2 3 4 52 3 5 2 3z x x x x x? ? ? ? ?min . * 43( , )55T?Y求原問題的最優(yōu)解。 ???njjj xcz1m a x1 1 , ,0 1 , ,nij j ijja x b i mx j n?????? （ ）（ ） .（ P ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）11m a x 0nmj j s ijiz c x x??????1 1 , ,0 , 0 1 , ,nij j s i ijj s ia x x b i mx x j n?? ? ? ???? ? ? ??? （ ）（ ）. 標準化用單純形法求原問題的最優(yōu)解： 第 37頁 jc ?BC 基 b?ijjcz?11m a x 0nmj j s ijiz c x x??????1 1 , ,0 , 0 1 , ,nij j s i ijj s ia x x b i mx x j n?? ? ? ???? ? ? ??? （ ）（ ）. 1c kc nc 0 0 00001sxslxsmx1blbmb1x kx nx 1sx slx smx10000101011a1la1ma1kalkamka1nalnamna1