【正文】 2．反思 （ 1）結(jié)論是否正確地概括了上面例子的共同特征 ? （ 2）比較上述認(rèn)識(shí)和初中函數(shù)概念是否有本質(zhì)上的差異？ （ 3）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等是否也具有上述特征？ （ 4）進(jìn)一步，你能舉出一些“函數(shù) ”的例子嗎？它們具有上述特征嗎？ （作為例子，可以討論課本 P24練習(xí)） 一般地 ， 設(shè) A， B是兩個(gè)非空的數(shù)集 ， 如果按某種對應(yīng)法則 f， 對于集合 A中的每一個(gè)元素 x， 在集合B中都有惟一的元素 y 和它對應(yīng) ， 這樣的對應(yīng)叫做從A 到 B的一個(gè)函數(shù) (function)， 通常記為 y＝ f (x)， x ∈ A． 其中 ， 所有的輸入值 x 組成的集合 A叫做函數(shù) y＝ f (x)的定義域 (domain) 問題 5． 如何用集合的觀點(diǎn)來表述函數(shù)的概念？ 給出函數(shù)的定義．指出對應(yīng)法則和定義域是構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的要素． (四 )數(shù)學(xué)理論 函數(shù)的近代定義：集合語言 、 對應(yīng)的觀點(diǎn) (五 )數(shù)學(xué)運(yùn)用 1．定義的直接應(yīng)用 例 1．（課本 P23例 1） 例 2．（課本 P23例 2） 2．已知函數(shù)確定函數(shù)的值域． 例 3．（課本 P23例 3） (注意把握難度 ) (六 )總結(jié)反思 1． “ 初中的 ” 函數(shù)定義和今天的定義有什么區(qū)別 ？ 2． 你認(rèn)為對一個(gè)函數(shù)來說 ， 最重要的是什么 ？ 在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中 ， 首先引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ，只要認(rèn)識(shí)了函數(shù)的性質(zhì) ， 相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律也就被把握住了；對于運(yùn)動(dòng)變化問題 ，最基本的就是要描述變化的快或慢 、 增或減 …… 相應(yīng)的 ， 函數(shù)的重要特征就包含：函數(shù)的增與減 （ 單調(diào)性 ） ， 函數(shù)的最大值 、 最小值 ，函數(shù)的增長率 、 衰減率 ， 函數(shù)增長 （ 減少 ） 的快與慢 ， 函數(shù)的零點(diǎn) ， 函數(shù) （ 圖象 ） 對稱性（ 奇偶性 ） ， 函數(shù)值的循環(huán)往復(fù) （ 周期性 ） 等等 。 在 研究方法 上 ， 可以提醒學(xué)生注意利用函數(shù)圖象 ， 用幾何直觀 、 數(shù)形結(jié)合的思想來指導(dǎo)研究 ， 例如可以通過 “ 三步曲 ” ：觀察 圖象 ，描述變化規(guī)律 （ 上升 、 下降 ） ；結(jié)合圖 、 表 ，用 自然語言 描述變化規(guī)律 （ y 隨 x 的增大而增大或減小 ） ；用數(shù)學(xué) 符號(hào)語言 描述變化規(guī)律 ，逐步實(shí)現(xiàn)用 精確的數(shù)學(xué)語言 刻畫函數(shù)的變化規(guī)律 。 從課（例題）到章到學(xué)科 1．課例展開的程序（模式） 案例 1 函數(shù)的概念 問題 1：在初中我們是如何認(rèn)識(shí)函數(shù)這個(gè)概念 的？ 問題 2：在上述例子中，是否確定了函數(shù)關(guān)系？ 為什么？ 問題 3．如何用集合的觀點(diǎn)來理解函數(shù)的概念？ 2．問題串 問題 4． 如何用集合的語言來闡述上面 3個(gè)例子中的共同特點(diǎn) ? (1)結(jié)論是不是正確地概括了例子的共同特征 ？ (2)比較上述認(rèn)識(shí)和初中函數(shù)概有無本質(zhì)上的差異 ？ (3)一次函數(shù) 、 二次函數(shù) 、 反比例函數(shù)等是否也具有 上述特征 ？ (4)進(jìn)一步地 ， 你能舉出一些 “ 函數(shù) ” 的例子嗎 ？ 問題 5． 如何用集合的觀點(diǎn)來表述函數(shù)的概念 ？ 問題 6． 你認(rèn)為對一個(gè)函數(shù)來說 ， 最重要的是什么 ？ 案例 2 函數(shù)的單調(diào)性 問題 ： 說出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是升高的或下 降的？怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”這一特征？ 問題 1： 觀察下列函數(shù)的圖象，指出圖象變化的趨勢 ．（ 從圖象中，你讀到了哪些信息？ ） 問題 2： 你能明確說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？ 問題 3： 如何用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢 ？ 能不能說 ， 由于 x＝ 1時(shí) ， y＝ 3； x＝ 2時(shí) ， y＝5就說隨著 x的增大 ， 函數(shù)值 y也隨著增大 ？ 能不能說 ， 由于 x＝ 1， 2， 3， 4， 5， … 時(shí) ，相應(yīng)地 y＝ 3， 5， 7， 9， … 就說隨著 x的增大 ，函數(shù)值 y 也隨著增大 ？ 如果有 n個(gè)正數(shù) x1 x2x3 xn，它們的函數(shù)值滿足 y1 y2y3 yn．能不能就說在區(qū)間 (0， +∞) 上隨著 x的增大，函數(shù)值 y 也隨著增大 ? 無限個(gè)呢？ 通過討論，結(jié)合圖（ 2）給出 f (x) 在區(qū)間 I上是單調(diào)增函數(shù)的定義 問題 4： 如何定義單調(diào)減函數(shù) ？ 教學(xué)的藝術(shù)全在于如何恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}和巧妙地引導(dǎo)學(xué)生作答 開課敲響“第一錘” 續(xù)課奏出 “ 最強(qiáng)音 ” 結(jié)課留下“滿口香 ” 如果對于區(qū)間 (o， +∞)上 任意 兩個(gè)值 x1和 x2，當(dāng) x1 x2時(shí)， 都有 y1 y2，那么可以說隨著 x 的增大，函數(shù)值 y 也增大． 設(shè)計(jì)好一個(gè)初始問題就從根本上設(shè)計(jì)好了一節(jié)課 ，因?yàn)閷W(xué)生解決初始問題的活動(dòng)是按照一定的規(guī)律展開 ，可以說 ， 在初始問題確定以后 ， 課的大體發(fā)展方向和框架就已經(jīng)確定了 —— 它是會(huì)按照自身的邏輯展開的 ． 教師在設(shè)計(jì)好初始問題 (以及提出問題的方案 )， 準(zhǔn)備好概略性解決方案 (不止一個(gè) )和幾種適應(yīng)學(xué)生狀況的思維模式以后 ， 再重點(diǎn)地弄清關(guān)鍵部分的細(xì)節(jié) ， 就可以去上課了 ． 當(dāng)然 ， 在上課時(shí)你可能會(huì)遇到不少意外的情況 ,但是只要堅(jiān)持過程性教學(xué)原則 ， 不回避問題和矛盾 ，只要熟悉并應(yīng)用數(shù)學(xué)文化的規(guī)范 ， 就一定會(huì)上好課 ——而且會(huì)出乎意料的精彩 、 自然和富有創(chuàng)造性 ． 課堂提問是在課堂教學(xué)過程中 ， 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容 、 目的 、 要求設(shè)置問題進(jìn)行教學(xué)問答的一種形式 ． 它是教學(xué)過程的有機(jī)組成部分 ，是整個(gè)教學(xué)過程推進(jìn)和發(fā)展的重要?jiǎng)恿?,是影響課堂教學(xué)的重要因素之一 ． 它具有強(qiáng)化知識(shí)信息的傳輸 、 評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的狀態(tài) 、 調(diào)控課堂教學(xué)的進(jìn)程 、 激發(fā)思維活動(dòng)的開展 、 溝通師生感情的交流等多項(xiàng)功能 ． 3．重視思維活動(dòng) 重視問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 教學(xué)過程就是提出問題和解決問題的過程 重視提出問題的過程 重視對解決問題過程的調(diào)控 4．重視突出學(xué)科的結(jié)構(gòu) 從章到節(jié)到問題 模式化的方法和程序 4． 1． 5 平面上兩點(diǎn)間的距離 ● 已知 A(－ 1, 3)， B(3,－ 2)， C(6,－ 1)， D (2, 4)，四邊形 ABCD是否為平行四邊形 ？ 除了用對邊是否平行的判定方法 ， 還可以通過對邊是否相等來判別 ． 下面我們先計(jì)算點(diǎn) A (－ 1, 3) , B(3,－ 2) 間的距離 . 轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)軸 特殊到一般 由此我們得到平面上 P1(x1, y1)， P2(x2, y2) 兩點(diǎn)間的距離公式 21221221 )()( yyxxPP ??嚴(yán)格證明 得到結(jié)論 案例 3 直線與方程 現(xiàn)在我們再來考察本小節(jié)開頭的問題 ． 由于兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ， 所以 ， 只需說明對角線 AC 和 BD的中點(diǎn)相同 ， 即可推得四邊形ABCD是平行四邊形 ． 怎樣來求線段 AC 中點(diǎn)的坐標(biāo)呢 ？ 轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)軸 特殊到一般 類比猜想 嚴(yán)格證明 一般地，對于平面上的兩點(diǎn) P1(x1, y1), P2(x2, y2) , 線段 P1P2的中點(diǎn)是 M (x0, y0)，則 ???????????22210210yyyxxx∵ A(－ 1, 3), C(6,－ 1) ∴ AC 中點(diǎn)為 )1 ,25(第一步 證明方法凸現(xiàn)解析幾何的基本思想 第二步 4． 1． 6 點(diǎn)到直線的距離 （活動(dòng)課的設(shè)計(jì)） ●我們已經(jīng)證明了圖 4－ 1－ 23中的四邊形 ABCD為平行四邊形，如何計(jì)算它的面積呢？ 方法 1 作垂線，得交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離． 方法 2 作坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)造直角三角形，轉(zhuǎn)化為 斜邊上的高． 用兩點(diǎn)間的距離公式可求得 AB= ，因此，只要知道 AB邊上的高，即點(diǎn) D(或點(diǎn) C)到直線 AB的距離，就能算出這個(gè)平行四邊形的面積． 如何計(jì)算點(diǎn) D到直線 AB： 5x＋ 4y－ 7＝ 0 的距離呢？ 414119?DE用方法 2 嚴(yán)格證明公式． “旁白”： 當(dāng) A＝ 0， B＝ 0時(shí)，公式也成立 進(jìn)一步提出“思考”： 你還能通過其它途徑求出點(diǎn) P 到直線 l 的距離嗎？ 一般地，對于直線 l ： A x＋ B y＋ C=0 (A≠0， B≠0) 和直線外一點(diǎn) P (x0， y0)，點(diǎn) P 到 l 的距離為 2200 ||BACByAxd????例 1 直接應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離 例 2 求平行線間的距離 （轉(zhuǎn)化） 例 3 解析法證明等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高 應(yīng)用 世界充滿著變化 ， 有些變化幾乎不被人們所感覺 ， 而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼 ． 例如 蘇州市 2020年 4月 20日最高氣溫為 ℃ ， 而此前的兩天 ， 4月19日和 4月 18日最高氣溫分別為 ℃ 和 ℃ ， 短短兩天時(shí)間 ，氣溫 “ 陡增 ” ℃ ， 悶熱中的人們無不感嘆： “ 天氣熱得太快了 ！ ” 但是 ， 如果我們將該市 2020年 3月 18日最高氣溫 ℃ 與 4月 18日最高氣溫