【正文】 具備三個基本的條件 : （ 1 ） 獨立性 . 數(shù)據(jù)是來自 r 個獨立總體的簡單隨機樣本 . （ 2 ） 正態(tài)性 . r 個獨立總體均為正態(tài)總體 . （ 3 ） 方差齊性 . r 個正態(tài)總體的方差是相同的 , 即滿足假設(shè) 不全相等222211222210 ,:: rr HH ?????? ?? ??? ? 方差分析和其它統(tǒng)計推斷一樣 , 樣本的獨立性對方差分析是非常重要的 , 在實際應(yīng)用中會經(jīng)常遇到非隨機樣本的情況 , ? 這時使用方差分析得出的結(jié)論不可靠 . 因此 , 在安排試驗或采集數(shù)據(jù)的過程中 , 一定要注意樣本的獨立性問題 . ? 在實際中 , 沒有一個總體真正服從正態(tài)分布的 , 但方差分析卻依賴于正態(tài)性的假設(shè) . 但經(jīng)驗可知 , 方差分析 F. ? 檢驗對正態(tài)性的假設(shè)并不是非常敏感 , 也就是說 , 實際所得到的數(shù)據(jù) , 如果沒有異常值和偏性 , 或者說 , 數(shù)據(jù)顯示的分布比較對稱的話 , 即使樣本容量比較小 (如每個水平下的樣本容量僅為 5左右 ), 方差分析的結(jié)果仍是值得依賴的 . ? 方差齊性對于方差分析是非常重要的 , 因此在方差分析之前往往要進(jìn)行方差齊性的診斷 ,即檢驗假設(shè)通?？刹捎?Barlett檢驗 . ? 方差齊性檢驗也可采用如下的經(jīng)驗準(zhǔn)則 :當(dāng)最大樣本標(biāo)準(zhǔn)差不超過最小樣本標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍時 , 方差分析 F檢驗結(jié)果近似正確 . 167。 如：在自由落體中 ， 物體下落的高度 h與下落時間 t之間有函數(shù)關(guān)系： 21h= gt2變量與變量之間的關(guān)系 ???確 定 性 關(guān) 系相 關(guān) 性 關(guān) 系二 、 相關(guān)性關(guān)系 ： 變量之間的關(guān)系并不確定 ， 而是表現(xiàn)為具有隨機性的一種 “ 趨勢 ” 。 ? 如：身高與體重，不存在這樣的函數(shù)可以由身高計算出體重，但從統(tǒng)計意義上來說，身高者，體也重。 我們以一個例子來建立回歸模型 ? 某戶人家打算安裝太陽能熱水器 . 為了了解室外溫度與燃?xì)庀牡年P(guān)系 , 記錄了 16個月燃?xì)獾南牧?, 數(shù)據(jù)見下表 . 月份 平均溫度 燃?xì)庥昧? 月份 平均溫度 燃?xì)庥昧? Nov. 24 Jul. 0 Dec. 51 Aug. 1 Jan. 43 Sep. 6 Feb. 33 Oct. 12 Mar. 26 Nov. 30 Apr. 13 4 Dec. 32 May. 4 Jan. 52 11 Jun. 0 Feb. 30 ? 在回歸分析時 , 我們稱“燃?xì)庀牧俊睘轫憫?yīng)變量記為 Y,“室外溫度”為解釋變量記為X, 由所得數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)得 r=,表明室外溫度與燃?xì)庀闹g有非常好的線性相關(guān)性 . ? 如果以室外溫度作為橫軸 , 以消耗燃?xì)饬孔鳛榭v軸 ,得到散點圖的形狀大致呈線形 . ? 室外溫度 X 的變化是引起燃?xì)庀牧?Y 變化的主要因素 , 還有其他一些因素對燃?xì)庀牧?Y 也起著影響 , 但這些因素是次要的 . ? 從數(shù)學(xué)形式來考慮 , 由于室外溫度 X 的變化而引起燃?xì)庀牧?Y 變化的主要部分記為a+ b X ，其中 a , b 是未知參數(shù)， ? 另一部分是由其他隨 機因素引起的記為?, 即???? bXaY. ? ?2~ 0 .N??正 態(tài) 假 設(shè) ： ，22( ) 0 , ( ) , ( ,Y a bxEDab??? ? ??? ? ??????????是 隨 機 誤 差 ， 不 可 控 制 ，基 本 假 設(shè) ：回 歸 系 數(shù) ） 未 知 .1 1 2 2, ( , ) , ( , ) , .. ., ( , )nnx x Y x Y x Y對 的 一 組 不 全 相 同 的 值 得 到 樣 本22, 1 , 2 , ..., ,( ) 0 , ( ) , ( ,i i iiiiY a bx i nEDab??? ? ??? ? ? ????? ?????相 互 獨 立 ，一 元 線 性 回 歸 模 型 ：回 歸 系 數(shù) ） 未 知 .? ?2~ 0 , 1 , 2 , .. ., .i N i n?? ?正 態(tài) 假 設(shè) ： ， 相 互 獨 立 ，22, 1 , 2 , ..., ,( ) 0 , ( ) , ( ,i i iiiiY a bx i nEDab??? ? ??? ? ? ??????????相 互 獨 立 ，一 元 線 性 回 歸 模 型 ：回 歸 系 數(shù) ） 未 知 .通常我們假定隨機誤差i?是相互獨立的 , 服從正態(tài)分布),0( 2?N. 顯然 , 在這樣的假定下iy也是相互獨立 , 服從正態(tài)分布),( 2?ibxaN ?. 由所得樣本可給出未知參數(shù) a , b 的點估計 , 分別記為??,b?, 稱xbaY ??? ??為x關(guān)于y的一元線性回歸方程 . ( 1 ) ,ab 的 估 計 ；2( 2 ) ? 的 估 計 ；( 3 ) 線 性 假 設(shè) 的 顯 著 性 檢 驗 ；( 4) b回 歸 系 數(shù) 的 置 信 區(qū) 間 ；( 5 ) ( )x a b x? ??回 歸 函 數(shù) 的 點 估 計 和 置 信 區(qū) 間 ；( 6) Y 的 觀 察 值 的 點 預(yù) 測 和 區(qū) 間 預(yù) 測 。? ? ? ?,?? ,?? , m i n ,ababQ a b Q a b?求 估 計 ，使 。 記iii yye ???, 稱ie為 殘 差 。 ? 采 用 殘 差 平 方 和? ????niiiyy12?作 為2?的 估計 。 在誤差為正態(tài)分布假定下 ， 最小二乘估計等價于極大似然估計 。? 采用最大似然估計給出參數(shù) a ,b的估計與最小二乘法給出的估計完全一致。此時給出的估計不是無偏估計。其中十對如下： 父親身高x（吋） 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 兒子身高y（吋） 66 70 求 Y關(guān)于 x的線性回歸方程。 證明（ 1） ? ? xxxxniiSSxxbD22212)(]?[?? ?????（ 2）類似可得。 因此 μ(x)是否為 x的線性函數(shù)： 一要根據(jù)專業(yè)知識和實踐來判斷， 二要根據(jù)實際觀察得到的數(shù)據(jù)用假設(shè)檢驗方法來判斷。 若原假設(shè)被拒絕，說明回歸效果是顯著的，否則，若接受原假設(shè)，說明 Y與 x不是線性關(guān)系，回歸方程無意義。 我們可以總的平方和分解為二個部分 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? 222 ?? yyyyyy iiii 而一般我們總是用 ? ?? 2)(? yySST i 來描述nyyy ??,21 ,之間的總的差異大小，把 SST 稱為總的平方和。 并稱 2)?(? ? ??ii yySSE為模型的殘差平方和； 2)?(? ? ?? yySSRi為模型的回歸平方和； S S ES S RS S T ?? 我們可以總的平方和分解為二個部分 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? 222 ?? yyyyyy iiii 而一般我們總是用 ? ?? 2)(? yySST i 來描述 nyyy ??,21 , 之間的總的差異大小，把 SST 稱為總的平方和。 并稱 2)?(? ? ??ii yySSE為模型的殘差平方和； 2)?(? ? ?? yySSRi為模型的回歸平方和； S S ES S RS S T ?? 我們可以總的平方和分解為二個部分 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? 222 ?? yyyyyy iiii 而一般我們總是用 ? ?? 2)(? yySST i 來描述nyyy ??,21 ,之間的總的差異大小，把 SST 稱為總的平方和。 并稱 2)?(? ? ?? ii yySSE 為模型的殘差平方和； 2)?(? ? ?? yySSR i為模型的回歸平方和； S S ES S RS S T ?? 可以證明： 可以證明， )2(~ 22?nSS E????? ? 2)?( yySSR i ? ? 22 )(? xxbi=xxSb 2? 由參數(shù)估計的性質(zhì)可知，當(dāng) b=0時， ）（ 1~?2222???xxSbSSR?)2,1(~?2/1/22???? nFsSbnSSExxSSRF方差分析表 來源 平方和 自由度 均方和 F 比 回歸 xxxyllSSR2? 1?Rf 1SSR 殘差 SST S S R = S S E 2?? nf E 2?nSSE 21??nS SES SRF 總的 yyl 1?? nf t ??? )2,1(1 nF ? 當(dāng)0H為真時，即 0?b ， )2,1(~?22?? nFsSbF xx ， 對于給定的顯著水平 ? , F 檢驗的拒絕域為 )}2,1({ ??? nFFW?. 01: 0 , : 0 ,H b H b??即 要 檢 驗 假 設(shè)當(dāng)0H為真時，即 0?b ， )2(~??? ntsSbt xx， 對于給定的顯著水平 ? , t 檢驗的拒絕域為 )}2(|{|2/ ??? nttW ?。 ? ? ? ?2 0 . 0 2 52 8 2. 30 n t? ? ? ?查 表 得 ：00 .4 6 4 61 7 1 .6 1 4 .1 2 .3 0 6 .0 .1 8 6:0tHb? ? ??計 算 得 ，故 拒 絕 ， 認(rèn) 為 回 歸 效 果 是 顯 著 的 。 ? 當(dāng)給定0xX ?時 , 求0y的預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間 , 在例1 中的意義是 : 求指定某個月的燃?xì)庀牧?, 如假