【正文】 解 )1(2)1(2)()()( 2121121121212 xexxexexxeexexexy xxxxxxx ?????????????xxx exexe 111 )12(2 ???? 或 ? ?1 1 12212 2 1x x xy x e x e x ex??? ? ? ? ? ????? 2．設(shè) xxy 3cos4sin ?? ，求 y? . 解 24 c os 4 3 si n c osy x x x??? 3．設(shè) xy x 1e 1 ?? ? ，求 y? . 解 21211 112 e1)1(e)1()e( xxxxxyxxx ??????????????? 4． 設(shè) xxxy cosln?? ，求 y? . 解 xxxxxxy c oss i n23)c os(l n)( ??????? 或 3 s in 3 ta n2 c o s 2xy x x xx? ? ? ? ? 5．設(shè) )(xyy? 是由方程 422 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 對方程兩邊同時對 x求微分，得 ? ? ? ?2 2 02222x d x y d y x d y y d xx y d x x y d yxyd y d xxy? ? ? ?? ? ????? 6．設(shè) )(xyy? 是由方程 1222 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 原方程可化為 ? ?21xy??， 1, 1x y y x? ? ? ? ? ? ? 1,y dy dx?? ? ? ? ? 7．設(shè) )(xyy? 是由方程 4ee 2 ??? xx yx 確定的隱函數(shù)，求 yd .解：方程兩邊同時對 x 求微分，得 20x y ye d x e d y x e d x x d x? ? ? ? ? ?2y x yx e d y e e x d x? ? ? ? 2xyye e xd y d xxe??? ? ?. 8．設(shè) 1e)cos( ??? yyx ，求 yd ． 解：方程兩邊同時對 x 求微分，得 ? ?? ?sin 0yx y dx dy e dy? ? ? ? ? ? ?? ?s ins iny xyd y d xe x y??? ?? 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． 若 )(xf 的一個原函數(shù)為 2lnx ，則 ?)(xf 。 ( a1)=2a a2128 y′ =0 得 2a=a2128 ∴ a3=64 ∴ a=4 ∴底面邊長為 4， h=1632 =2 設(shè)矩形的周長為 120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 ) =2 x2648 y′ =0得 2 = x2648 ∴ x2=324 ∴ x=18 ∴一邊長為 18，一邊長為 12時，用料最省 . 欲做一個底為正方形，容積為 32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？ 設(shè)底邊長為 a ∴底面積為 a2 a2h=v=32 ∴ h=a232 ∴表面積為 a2+4ah= a2+4a (x1)′ =2+648 此時的費(fèi)用為 S（ 2） 10+40=160元 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長方形一邊長為 x，∵ S=216 ∴另一邊長為 216/x ∴總材料 y=2x+3 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10u v′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴ xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1= xxx cossin23 21 ? ∴ dy=( xxx cossin23 21 ?)dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim 224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln51|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1? x? e 0? lnx? 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5 e2x ∴ y′ = 2e2x+ x2123 ∴ dy=(2 (2x)′ =eu試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。 a232= a2+a2128 y= a2+ a128 , y′ =2a+128 (1 216/x=2x + x648 y′ =2+648 21 =27 623lim222 ????? xxxxx 解：5131lim)2)(3x( )1)(2(lim 22 ?????? ?? ?? xxxxx xx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy 12 ?? ( ey x11?) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ????????? ) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分 ） 用鋼板焊接一個容積為 4 3m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費(fèi) 40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因?yàn)楸締栴}存在 最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以 x=2，h=1時水箱的表面積最小。 e2x+ x2123)dx ⒊計算不定積分 xxxdsin? 解：令 u= x21x? ,u′ =xx 2121 21 ?? ∴ dxxdu 21? ∴ ? usin （ 2） = 2電大微積分初步考試 精品 小抄 一、填空題 ⒈ 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 （－∞， 5） ． 5－ x ＞ 0 → x ＜ 5 ⒉ ??? xxx1sinlim 1 ． 1s inlim ??? x xx ， 01 ??? xx 時， ⒊ 已知 xxf 2)( ? ，則 )(xf? = 2ln22 ）（x ． ⒋ 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxf d)32( CxF ?? )32(21 ． ⒌ 微分方程 yxxyyx ??????? es in)( 4 的階數(shù)是 三階 ． ∵ y? )2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 （ 2， 1） U（ 1，∞ ) ? ? ? ? ? ?1221ln)2(ln2x02ln02 ????????? xxxxx ，＞，＞，＞ ∴ ? ?1 2x| ?且＞x 7. ?? xxx2sinlim0 2 ． 211212 2s inlim2s inlim 00 ??? ?? x xx x xx 21:22 2sinlim0 ??? xxx y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，則 y? (0) = 6 y=x(x1)(x2)(x3)=(x2x)(x25x+6)=x45x3+6x2x3+5x26x =x46x3+11x26x , 622184y 23x ????? xx ?（把0帶入 X） ,6)0( ????y 9. ?? ? xx ded 2 dxxe? 2 )()( xfdxxf ??? ）（ 或 dxxfdxxfd )())(( ?? 1)0(, ??? yyy 的特解為 y=ex . yy?? ydxdy? ?? ??? dxdydxydy y1兩邊積分 e cxy ??? 又 y(0)=1 (x=0 , y=1) cxy ???ln 01 0 ??? ? ce c， 24)2ln( 1)( xxxf ????的定義域是? ? ? ?2,112 ?， ??????????????????????????????????????122122x21ln)2l n (22x20)2(ln0204 2xxxxxxxx＜＜＞＞ ?????????0,0,13s in)(xkxxxxf ,在 0?x 處連續(xù)，則 ?k 1 ． )()(lim 00 xxfxfx ?? ( )(xf 在 x0 處連續(xù) ) ∵kf ?)0( 113s i n0l i m)13s i n(0l i m???????? xxxxxx （無窮小量x有界函數(shù)） xy? 在點(diǎn) )1,1( 處的切線方程是2121y ?? x xxy 21?? ， xy 2121 ??? 切ky ????? 211x| 2121y)1(211y ???????? xx方程 14. ??? xxs d)in( sin x+c xyyxy s in4)( 53 ??????? 的階數(shù)為 三階 )2ln()( ?? xxxf的定義域是 （ 2,3） U（ 3，∞） ? ?3x2x|1