【正文】 x? 和 y? 的合力相平衡。平均應(yīng)力的平衡關(guān)系可以表述如下： x cx sx sxff???? y cy sy syff???? xy cxy??? sx? 和 sy? 分別是 x 和 y 方向的配筋率。 1986年，多倫多大學(xué)的 Vecchio 和 Collins 做了 30 個板實驗，這些板的尺寸都是89 0 89 0 70 mm?? ，并承受平面內(nèi)的應(yīng)力。 對于受壓混凝土，本構(gòu)關(guān)系是主壓應(yīng)力 2cf 和主壓應(yīng)變 2c? 的函數(shù)。這一現(xiàn)象被稱為受壓軟化，具體表現(xiàn)在混凝土單軸受壓時的應(yīng)力 應(yīng)變反應(yīng)的弱化。101 1 .00 .8 0 .3 4cc cff ??????? ???? 239。 0? 是對應(yīng)于峰值抗壓應(yīng)力 39。 2maxcf 反映的是主拉應(yīng)變的軟化效應(yīng)。首先，必須要確定開裂強度 crf 以及相應(yīng)的開裂應(yīng)變 cr? 。 cff? ? ?in MPa?? crcrcfE? ? 其中 cE 是混凝土的初始剛 度，計算式為： 39。為了模擬這種受拉硬化現(xiàn)象，混凝土的拉應(yīng)力要隨著混凝土主拉應(yīng)變的增大從抗拉強度逐步減小。公式如下： sx s sx sxyf E f?? ? ? sy s sy syyf E f?? ? ? 其中， sE 是鋼筋的彈性模量 ，sxyf和syyf分別是鋼筋在 x 和 y 方向的屈服應(yīng)力。然而，如果忽略了構(gòu)件性能由裂縫處的局部鋼筋屈服或沿裂縫的剪切滑移破壞所控制的可能性，那么分析結(jié)果將會是不保守的。 鋼筋混凝土的應(yīng)力場從裂縫間的平均概念到裂縫處的局部概念是不斷變化的。 在裂縫處的截面上，混凝土平均拉應(yīng)力減小到 0。在裂縫表面的法線方向根據(jù)力平衡條件，用平均應(yīng)力和局部應(yīng)力建立的數(shù)值等價關(guān)系式可以表述為： ? ? ? ?221 c o s c o sc x s c r x s x n x y s c r y s y n yf f f f f? ? ? ?? ? ? ? 其中， scrxf 和 scryf 是裂縫處的局部鋼筋應(yīng)力， nx? 和 ny? 是鋼筋和裂縫截面法線方向的夾角。如果用鋼筋的屈服強度取代鋼筋局部應(yīng)力，那么公式兩個括號中的項就表示了鋼筋的富余強度，也就限制了后開裂混凝土的受拉應(yīng)力不超過： ? ? ? ?221 c o s c o sc x s x y s x n x y s y y s y n yf f f f f? ? ? ?? ? ? ? 如圖 a 所示，主平面上沒有剪應(yīng)力。在裂縫切線方向上根據(jù)力的平衡關(guān)系，可以得到如下公式： ? ? ? ?c o s sin c o s sinc i x s c r x s x n x n x y s c r y s y n y n yf f f f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 不考慮上述方程，局部剪應(yīng)力可以一直增大，直到發(fā)生剪切滑移破壞。基于 Walraven 對骨料咬合作用的分析， MCFT 對裂縫處剪應(yīng)力大小的限制為： ? ?39。 如果超過了允許的混凝土最大拉應(yīng)力或者裂縫處的局部剪應(yīng)力，就需要修正應(yīng)變狀態(tài)以求得到較小的混凝土平均拉應(yīng)力值。根據(jù) MCFT 可知，混凝土單調(diào)本構(gòu)曲線是以 Hognestad 拋物線為基礎(chǔ)，通過考慮受壓軟 化效應(yīng)，對其進行修正得到的。如果結(jié)構(gòu)的反應(yīng)落在骨架曲線上，如 c cm??? ，那么就將 cm? 和 cmf 更新為 39。cmf 。pc? 用下式計算： 239。 任意時刻的卸載產(chǎn)生的應(yīng)力用如下關(guān)系計算： ? ? ? ?pc c cm c cfE? ? ??? 其中卸載模量 cmE 定義為： ? ?39。實際上，實驗證明這個假設(shè)是不正確的。 混凝土受拉的滯回本構(gòu)如圖 b 所示。 設(shè)塑性應(yīng)變?yōu)?pc? ，再加載時的混凝土拉應(yīng)力用下式計算： ? ?? ?? ?? ?pcc ptm c c tmpcc tm cb t c c tmf ifff if?? ? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ???? ? ? ??? ??? ???????????????? ? ??? 其中， tm? 是之前加載得到的最大拉應(yīng)變， tmf 是與 tm? 相對應(yīng)的應(yīng)力， ? ?bt cf ? 是通過骨架曲線計算得到的與 c? 相對應(yīng)的應(yīng)力。接下來用于骨架曲線計算的是凈塑性應(yīng)變。 000pp c c cccifif? ? ???? ???? ? ? ??? ?????? ? ??? 由于目前缺乏合適的模型，從上式可以看出，沒有正值的補償應(yīng)變。 當(dāng)混凝土反應(yīng)落在骨架曲線上時，最大拉應(yīng)變和相應(yīng)的應(yīng)力都分別更新到39。tmf 。39。 MenegottoPinto 模型的表達式 為 ： **** 1 /(1 )(1 )RRbb ??? ???? ? ? ? （ ） 其中 ， *0rr??? ???? ? （ ） *0rr??? ???? ? （ ） 方程 ()表達的是 斜率分別為 0E 和 1E 的兩條漸近線的過渡段，如圖 所示的線（ a）和線（ b）。 A點是荷載的反向點，其應(yīng)力和應(yīng)變分別為 2r? 和 2r? 。 R 是影響過渡曲線形狀的 一個 參數(shù)，它反映了鋼筋的 包興格（ Bauschinger） 效應(yīng)。 MenegottoPinto 模型中 R 的表達式為 ： 102.aRR a ???? ? （ ） 其中 ， 0R 是 第一次 加載時參數(shù) R 的初始值 ， 1a 和 2a 跟 0R 一樣，其值 由鋼筋試驗所 確定 ， ? 將 在 每次應(yīng)變 反向 后 更新其值 。針對 這個 問題， Fillipou (1983)建議 把 線性屈服漸近線上 的 應(yīng)力 變換看作 是 最大塑性應(yīng)變的函數(shù)： m a x34styyaa????? ? ????? （ ） 其中， y? 和 y? 分別 是 鋼筋屈服時的 應(yīng)變和應(yīng)力， max? 是 當(dāng)應(yīng)變 反向時絕對值最大的應(yīng)變， 3a 與 4a 的值 由試驗確定 。 6004503001500150300450600 0 εζ 圖 鋼筋滯回本構(gòu)模型 [34] Fig Hysteresis Model for reinforcrment[34] 基于切線剛度的 NewtonRaphson 迭代法 鄧興龍和蔣曉華等編制的非線性有限元程序是采用的基于切線剛度的NewtonRaphson 迭代法理論得以實現(xiàn)的。 高斯積分 基于切線剛度的 NewtonRaphson 迭代法采用的是 22? 積 分點的高斯積分，其單元剛度矩陣和單元等效結(jié)點恢復(fù)力的高斯積分公式介紹如下。 用高斯求積公式表述的單元剛度矩陣計算式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?11() 11 11nne T TijijK B D B t J d d H H B D B t J???? ???? ???? 用 高斯求積公式表述的 單元 等效結(jié)點恢復(fù)力的計算式為： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?11nn Te ijijF H H B t J???? ?? 其中， ??B 為應(yīng)變矩陣， J 為雅克比行列式。 針對不同的單元，一般通過經(jīng)驗和試算來確定最佳的積分點數(shù)。表 中所示的是各個高斯積分點的坐標和加權(quán)系數(shù)，圖 所示的是 22? 高斯積分點的分布情況。 圖 基于切線剛度的 NewtonRaphson 算法 NewtonRaphson algorithm based on tangent stiffness NewtonRaphson 是一種變剛度 的迭代法。 然后，用外荷載等效結(jié)點力 ??P 和結(jié)構(gòu)恢復(fù)力 ??1P 求出殘余力 ? ?1P? ，并連同 相應(yīng) 于初始位移 ??1? 的即時切線 剛度 ? ?1K ， 求出 位移增量? ?2?? ，即 ? ? ? ? ? ?11P P P? ? ? () ? ? ? ? ? ?12 1 1KP? ?? ? ? () 得到 位移的第二次近似值 為： ? ? ? ? ? ?2 1 2? ? ?? ? ? () 以此類推，第 k 步的計算過程為： P 0 1?0 2?0 3?0 1P?0 1P 2P?0 2P 1??0 2??0 3??0 ?0 ? ? ? ? ? ?kkP P P? ? ? () ? ? ? ? ? ?11k k kKP? ??? ? ? () ? ? ? ? ? ?11k k k? ? ???? ? ? () 當(dāng) ? ?1k?? 與 ??k? 的誤差達到所規(guī)定的限值 ，或 者 當(dāng) ? ?kP? 足夠小的時候，迭代結(jié)束 。 加入變量 ? 后， 原方程組 將 變?yōu)?： ? ?iiF x f?? ? ? （ ） 上述 方程組 一 共有 n+1 個未知量： nxR?? 、 ? ， 但是 方程 卻 只有 n 個 。這時，方程組變?yōu)?? ? ? ?11nnFR? ? ??? 。 圖 弧長法迭代過程示意圖 Fig The Arclength method 收斂準則 基于切線剛度的 NewtonRaphson迭代法的收斂準則有三種：力準則、位移準則以及能量準則。 當(dāng)?shù)Y(jié)束時，結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)處于一個穩(wěn)定的力平衡狀態(tài)，力準則就是要求結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力和外力 之差等于零。力準則的表達式為： ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 22im m m mFR F R F?? ? ? ?? ? ? 其中， F? 就是給殘余力設(shè)置的一個允許值。位移準則的表達式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1122iimmDU U U? ??? ? ? 其中，2是 矢量的歐幾里德范數(shù)， ? ???iU? 是第 i 步迭代的位移增量， D? 為 設(shè)置的允許值。 鄧興龍和蔣曉華等編制的 FEAPpv程序采用的是能 量收斂準則。通過比較割線剛度迭代法與基于切線剛度的 NewtonRaphson 法，可以得出以下幾點結(jié)論： 1. 在結(jié)構(gòu)的應(yīng)力 應(yīng)變曲線進入到下降段后，對于切線剛度法，剛度會出現(xiàn)負值，從而給計算處理帶來難度。 2. 以往采用切線剛度法的程序，在更新應(yīng)變時，對于一個單元采用了 4 個高斯積分點，每次迭代得到了一個新的結(jié)構(gòu)位移，就需要在 4 個積分點上分別求出它們的應(yīng)變，再以此計算出 4 個新的割線剛度，用以判斷收斂與否。 根據(jù)附錄 1 可知，單元應(yīng)變和位移的關(guān)系為： jpimx i j m pNNNNu u u u ux x x x x? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? jpimy i j m pNNNNv v v v vy y y y y? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? j p j pi m i mx y i j m p i j m pN N N NN N N Nuv u u u u v v v vy x y y y y x x x x? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中： 1 (1 )(1 )4i xyN ab? ? ? 1 (1 )(1 )4j xyN ab? ? ? 1 (1 )(1 )4m xyN ab? ? ? 1 (1 )(1 )4p xyN ab? ? ? 令 2ax? ， 2by? ，則 可以得到割線剛度迭代法中心積分點的應(yīng)變計算式為： 2j m i px u u u ua? ? ? ?? 2m p i jy v v v vb? ? ? ?? 22m p i j j m i pxy u u u u v v v vba? ? ? ? ? ? ??? 每次循環(huán)迭代出的新位移，僅需要換算成中心積分點上的應(yīng)變，通過一次計算便可以得出割線剛度用于收斂判斷。 3. 切線剛度法的過程，需要通過外荷載節(jié)點力和結(jié)構(gòu)恢復(fù)力求解出一個殘余力，再以此計算出增量位移來判斷是否滿足收斂條件，若不收斂，便更新結(jié)構(gòu)位移并重新計算結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。二者 相比起來，割線剛度迭代法不需要啟用一個新的數(shù)組來儲存殘余力值，降低了對程序的存儲空間要求并提高了程序的運算速度。 5. 割線剛度迭代法相比于切線剛度法的有限元模型更為簡單