【正文】 成立，而 不成立。教學(xué)時，要提醒學(xué)生從以下兩個方面來理解這句話的含義： 當 時取等號，其含義就是： 僅當 時取等號，其含義就是： 綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。 2．教法建議 （ 1）導(dǎo)入新課建議采用學(xué)生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學(xué)生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動機．使得學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識自 然且合理． （ 2）在新授知識過程中，教師應(yīng)力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步回憶所學(xué)的知識，并應(yīng)用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)．對有關(guān)概念使學(xué)生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在比較中得到深刻理解． （ 3）教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)． （ 4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學(xué)生嘗試失敗， 并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中． （ 5）注意培養(yǎng)應(yīng)用意識．教學(xué)中應(yīng)不失時機地使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時教學(xué)中就應(yīng)適當增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”． 數(shù)學(xué)驛站 第一課時 教學(xué)目標： 1． 學(xué)會推導(dǎo)并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理； 2． 理解定理的幾何意義； 3． 能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式 . 教學(xué)重點：均值定理證明 教學(xué)難點：等號成立條件 教學(xué)方法：引導(dǎo)式 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，首先我們來作一下回顧 . （學(xué)生回答） 由上述性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出下列重要的不等式 . 二、講授新課 1． 重要不等式： 如果 證明： 當 所以， 即 由上面的結(jié)論，我們又可得到 2． 定理：如果 是正數(shù)，那么 數(shù)學(xué)驛站 證明：∵ ? 即 ? 顯然，當且僅當 ? 說明：?。┪覀兎Q ? 的算術(shù)平均數(shù)，稱 ? 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) . ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù) . ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件 . 3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于 半弦” . 以長為 的線段為直徑作圓，在直徑 AB 上取點 C， .過點 C 作垂直于直徑AB 的弦 DD′ ,那么 即 這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于 CD，即 ，其中當且僅當點 C 與圓心重合；即 時，等號成立 . 在定理證明之后，我們來看一下它的具體應(yīng)用 . 4． 例題講解： 例 1 已知 都是正數(shù)，求證： （ 1）如果積 是定值 P,那么當 時，和 有最小值 數(shù)學(xué)驛站 （ 2）如果和 是定值 S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以 （ 1）積 xy 為定值 P 時，有 上式當 時，取“ =”號，因此，當 時，和 有最小值 . （ 2）和 為定值 S 時，有 上式當 時取“ =”號，因此，當 時，積 有最大值 . 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件： （ 1）函數(shù)式中各項必須都是正 數(shù) 。 ?? 1．重要不等式 說明?。? ?? 學(xué)生 ?? ⅱ） ?? 練習(xí) ⅲ） ?? 2．均值定理 ?? ?? 第二課時 教學(xué)目標： 1． 進一步掌握均值不等式定理； 2． 會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值； 3． 能夠解決一些簡單的實際問題 . 教學(xué)重點：均值不等式定理的應(yīng)用 教學(xué)難點： 解題中的轉(zhuǎn)化技巧 教學(xué)方法：啟發(fā)式 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧 一下定理內(nèi)容及其適用條件 . （學(xué)生回答） 數(shù)學(xué)驛站 利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓(xùn)練 . 二、講授新課 例 2 已知 都是正數(shù)，求證： 分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識 . 證明：由 都是正數(shù)，得 即 例 3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為 3m，如果池底每 的造價為 150 元，池壁每 的造價為 120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建 立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理 . 解：設(shè)水池底面一邊的長度為 xm，水池的總造價為 l 元，根據(jù)題意，得 當 因此，當水池的底面是邊長為 40m 的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是 297600元 . 數(shù)學(xué)驛站 評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng) 用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件 . 為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用，我們來進行課堂練習(xí) . 三、課堂練習(xí) 課本 P11練習(xí) 1， 4 要 求：學(xué)生板演，老師講評 . 課堂小結(jié)： 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應(yīng)用 . 課后作業(yè)： 習(xí)題 5,6,7 板書設(shè)計： 均值不等式 例 2 167。必修）數(shù)學(xué)第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學(xué)完不等式性質(zhì) 的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究．本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，靈活解決實際問題，學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)． （二）教學(xué)目標 數(shù)學(xué)驛站 1．知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的 2 倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應(yīng)用平均值定理解決一些簡單的應(yīng)用問題． 2．能力目標：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化 歸等數(shù)學(xué)思想． （三）教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵 重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應(yīng)用問題． 難點：定理的使用條件，合理地應(yīng)用平均值定理． 關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想是突破重點和難點的關(guān)鍵． （四）教材處理 依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學(xué)．第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的 2 倍）和平均值定理及它們的幾何解釋．掌握應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題．第二課時講解應(yīng)用平均值定理解決某些實際問題．為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下， 對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題． 二、教法分析 （－）教學(xué)方法 為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識，又有利于教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與創(chuàng)新能力，使學(xué)生能獨立實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標．在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)；在定理的應(yīng)用及其條件的教學(xué)中采用歸納法；在訓(xùn)練部分，主要采用講練結(jié)合法進行． （二）教學(xué)手段 根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學(xué)容量，利用計算機輔導(dǎo)教學(xué)． 三、教學(xué)過程設(shè)計 6． 2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時） （一）導(dǎo)入新課 （教師活動） 1．教師打出字幕（提出問題） ； 2．組織學(xué)生討論，并點評． （學(xué)生活動）學(xué)生分組討論，解決問題． [字幕 ] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次 9 折銷售，第二次再 8 折銷售；方案乙是第一次 8 折銷售，第二次再 9 折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售．試問降價最少的方案是哪一種？ 數(shù)學(xué)驛站 ［討論］ ①設(shè)物價為 t 元，三種降價方案的銷售物價分別是： 方案甲： （元）； 方案乙： （元）； 方案丙： （元）． 故降價最少的方案是丙． ②若將問題變?yōu)榈谝淮?a 折銷售，第二次 b 折銷售．顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時， 設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學(xué)生討論哪一 種方案降價最少．學(xué)生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要，激發(fā)學(xué)生求知欲望，合理引出新課． （二）新課講授 【嘗試探索，建立新知】 （教師活動）打出字幕（重要不等式），引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，講解重要不等式的證明．點評有關(guān)問題． （學(xué)生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念． ［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“ =”號）． 證明：見課本 ［點評］ ①強調(diào) 的充要條件是 ②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）． ③幾何解釋，如圖。 [點評 ] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi)． [字幕 ] 例 2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150 元，池壁每 1 的造價為 120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ ［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為 y，建立 y 關(guān)干 的函數(shù)．然后用定理求函數(shù) y 的最小值． 解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為 y 元，根據(jù)題意，得 （ ） 所以 當 ，即 時， y 有最小值 297600．因此，當水池的底面是邊長為 40 m 的正方形時．水池的總造價最低，最低總造價是 297600元． 設(shè)計意圖：加深理解應(yīng)用平均值定理求最值的方法，學(xué)會應(yīng)用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學(xué)思想． 【課堂練習(xí)】 （教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)；請三位同學(xué)板演；巡視學(xué)生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習(xí)． （學(xué)生活動）在筆記本且完成練習(xí)、板演． 數(shù)學(xué)驛站 ［字幕〕練習(xí) A 組 1．求函數(shù) （ ）的最大值． 2 求函數(shù) （ ）的最值． 3．求函數(shù) （ ）的最大值． B 組 1．設(shè) ，且 ，求 的最大值． 2．求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？ 解： ，因為 ，則 ．所以 [講評 ] A 組 1． ； 2． ； 3． B 組 1． ； 2．不正確 ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值． 設(shè)計意圖； A 組題訓(xùn)練學(xué)生掌握應(yīng)用平均值定理求最值． B 組題訓(xùn)練學(xué)生掌握平均值定理的綜合應(yīng)用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意．同時反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)． 【分析歸納、小結(jié)解法】 （教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)應(yīng)用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最 值問題和實際問題的解題方法． （學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記． 1．應(yīng)用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題． 數(shù)學(xué)驛站 2．應(yīng)用定理時注意以下幾個條件：（?。﹥蓚€變量必須是正變量．（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值．（ iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值． 3．在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃?—— 分析變量、配置系數(shù)． 4．應(yīng) 用平均值定理解決實際問題時，應(yīng)注意：（ l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù)．（ 2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域．（ 3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案． 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，幫助學(xué)生形成知識體系，全面深刻地掌握