【正文】 決問題．試題解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線y=x2+bx+c的表達(dá)式為y=x2﹣4x+3；（2）如圖1，拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，設(shè)D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式為y=﹣x+3．∵直線y=x+m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x+m垂直，∴∠CEF=90176。∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴當(dāng)CM＝CP時(shí)，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）．綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答圖2，點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對稱軸x＝﹣1的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．將點(diǎn)A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．將x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四邊形BOCE＝BF?EF+（OC+EF）?OF＝（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a）＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，∴當(dāng)a＝﹣時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣ ，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進(jìn)行求解，不要漏解．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點(diǎn)（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點(diǎn)B（4，1），直線l為y=1，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當(dāng)y=1時(shí)，有x+=1，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）．（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．10．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且與直線關(guān)于的對稱直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是 ______；（2）直線與直線交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過點(diǎn)作直線與線段、分別交于點(diǎn)，使得與相似．①當(dāng)時(shí)，求的長；②若對于每一個(gè)確定的的值，有且只有一個(gè)與相似，請直接寫出的取值范圍 ______．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；（2）由對稱軸可知點(diǎn)C（2，），A（，0），點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當(dāng)n=時(shí)，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△DPQ∽△DAB，DP=9；當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，DP=9；②當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時(shí)，DB=3，DN=，所以N（2，），則有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似時(shí)，＜n＜.【詳解】（1）頂點(diǎn)為；故答案為；（2）對稱軸，由已知可求，點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，則關(guān)于對稱的直線為，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)與不平行時(shí)，，；綜上所述；②當(dāng)，時(shí)，，，∴有且只有一個(gè)與相似時(shí)，；故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【解析】【分析】（1）OB=OC，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，即可求解；（3）S△PCB：S△PCA=EB（yCyP）：AE（yCyP）=BE：AE，即可求解．【詳解】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，故3a=3，解得：a=1，故拋物線的表達(dá)式為：y