正弦定理的證明-展示頁
2024-10-28 14:27本頁面
【正文】 (a^2+b^2c^2)/2abSINc^2=1COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便例如，用BC邊和經(jīng)過B的直徑BD，構(gòu)成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R為三角形外接圓半徑)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB這樣就得到正弦定理了一種是用三角證asinB=bsinA用面積證用幾何法，畫三角形的外接圓聽說能用向量證，咋么證呢?三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90B),j與向量CA夾角為(90+A),設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,因為AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA用余弦定理：a^2+b^22abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2c^2)/2abSINc^2=1COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證用余弦定理：a^2+b^22abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2c^2)/2abSINc^2=1COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證滿意答案好評率：100%正弦定理△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點HCH=asinA∴asinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC：如圖，任意三角形ABC,⊙,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠。c=(a+b)a+2ab∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(πθ)(以上粗體字符表示向量)又∵Cos(πθ)=CosC∴c^2=a^2+b^22|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)再拆開，得c^2=a^2+b^22*a*b*CosC同理可證其他，而下面的CosC=(c^2b^2a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。+a^2+cosB178。c^22ac*cosBb^2=(sinB^2+cosB^2)*c^22ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^22ac*cosBcosB=(c^2+a^2b^2)/2ac第二篇：正弦定理證明： △ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。sinB CH=bsinB=b：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^22ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^22ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^22ac*cosB cosB=(c^2+a^2b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^22ab*cosC a^2=b^2+c^22bc*cosA b^2=a^2+c^22ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。2 談?wù)?、余?
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