【正文】 ?關(guān)于 x 的方程 的兩根062 ??? kxx 44)( 21221 ???? xxxx 。 ，則：解：設(shè)方程的另一根為 1x 221 1 ???? x ① 12??a ax ?? 1)21( ② 04212 ?????? aa 時(shí)，當(dāng)? 由①，得： 11 ??x 。 ，則：，解：設(shè)方程兩根為 21 xx 21???m 22121 4)1(2 mxxmxx ????? ， 016)]1(2[21 22 ?????? mmm 時(shí)，當(dāng)? 方程兩根互為倒數(shù)? 016)]1(2[21 22 ??????? mmm 時(shí)，當(dāng) 14 221 ??? mxx 21???m ②、 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 01)1()1( 22 ????? xaxa 兩根互為倒數(shù)，則 a= 2 。時(shí)，差為 2212 ??k 1若方程 03)2( 22 ???? xax 的兩根是 1和－ 3，則 a= 2? 。 方程有一個(gè)相同的根解： ? ，得：代入將 042 ???? mxxmx mxxmxx 24 22 ?????? 042 ??? mm mmx ?????? 2)14( 0)3( ??? mm mx ?? 這個(gè)相同的根為： 30 ?? mm 或 1已知方程 032 2 ??? kxx 的兩根之差為 212 ，則 k= 2? 。 是方程的兩根、解： nm? 將①代入②，得： 12 ??? mnm 1)1( 2 ??? mmm 12 ??mmn 1???m 化簡(jiǎn)，得： 代入把 1??m ①，得： 1??mn ① 2??n 12 ??mmn ② 1)1( 2 ???? ?nm 1已知方程 0132 ??? xx 的兩個(gè)根為α ,β，則α +β =3 , αβ =1。 ，則：，解：設(shè)方程兩根為 21 xx 0??m mxx ??? 21 040 2 ????? mm 時(shí)，當(dāng)? 方程兩根互為相反數(shù)? 反數(shù)。 ，則：解：設(shè)方程的另一根為 1x 3191 1 ??x ① 16?m 31 mx? ② 0121916 2 ????? aa 時(shí)，當(dāng)? 由①，得：3161?x 。時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)當(dāng) 43??? m 1一元二次方程 02 ??? qpxx 兩個(gè)根分別是 32? 和 32? ，則 p= 4? ,q=1。 是方程的兩根、解： nm? 代入將 8?m ①，得： 6??nm ① 2??n kmn? ② 代入，將 28 ??? nm ③，得： 2023 ?? nm ③ 16)2(8 ?????k ① 2③，得： 043616 ?????? kk 時(shí)，當(dāng)? 8???m 16???k 8??m 1若方程 01)12( 22 ????? mxmx 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是 43??m 。 6)4(2 2 ??? xmxx解：將方程 08848 ???? m 068)12( 2 ???? xxm化簡(jiǎn)，得： 611??m 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根? 2為最小整數(shù) m? 0)12(2464 ?????? m 已 知方程 )4()3)(1(2 ???? mxmxx 兩根的和與兩根的積相等，則 m =2 。 ，則：，解：設(shè)方程兩根為 21 xx 3???m 2122 221221 ?????? mxxmmxx ， 0)2(4)]2([3 22 ???????? mmm 時(shí)，當(dāng) 方程兩根互為倒數(shù)? 0)2(4)]2([3 22 ????????? mmm 時(shí)，當(dāng) 121221 ??? mxx 3???m 122 ???m 當(dāng) m ＝ 4? 時(shí)，方程 042 ??? mxx 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程解： 042 ??? mxx? 0162 ????? m 4???m 當(dāng) m 04 ?? m且 時(shí)，方程 0142 ??? xmx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程解： 0142 ??? xmx? 00416 ?????? mm 且 等的實(shí)數(shù)根。 04 22 ??? kxx方程解： ? 0416 2 ????? k 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 2???k 如果關(guān)于 x 的方程 012)14(2 22 ????? kxkx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 k 的取值范圍是89??k。 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 習(xí)題 一、單項(xiàng)選擇題： 1．關(guān)于 x 的方程 0122 ??? xax 中，如果 0?a ，那么根的情況是（ B ） （ A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （ B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （ C）沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （ D）不能確定 a4)2( 2 ?????解： 04 ??? a 實(shí)數(shù)根。原方程有兩個(gè)不相等的? a44?? 044 ??? a 0?a? 0??即 2．設(shè) 21,xx 是方程 0362 2 ??? xx 的兩根，則 2221 xx ? 的值是（ C ） （ A） 15 （ B） 12 （ C） 6 （ D） 3 21 xx ，方程兩根為解： ? 212212221 2)( xxxxxx ????? 233 2121 ??? xxxx ， 623232 ???? 3．下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（ B ） （ A） 2y2+5=6y（ B） x2+5=2 5 x（ C） 3 x2－ 2 x+2=0（ D） 3x2－ 2 6 x+1=0 )0( ”的方程即可本題為找出“ ?? 4．以方程 x2＋ 2x－ 3＝ 0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（ B ） （ A） y2+5y－ 6=0 （ B） y2+5y＋ 6=0 （ C） y2－ 5y＋ 6=0 （ D） y2－ 5y－ 6=0 ，則：，解：設(shè)方程兩根為 21 xx 0)3)(2()]3()2[(2 ???????? yy 32 2121 ????? xxxx ， 0652 ??? yy即： ：為根的一元二次方程為和以 32 ??? 5．如 果 21 xx， 是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足 12 121 ?? xx ， 12 222 ?? xx ，那么 21 xx? 等于（ D ） （ A） 2 （ B） － 2 （ C） 1 （ D） － 1 1212 222121 ???? xxxx ，解： ? 的兩根 12221 ??? xxxx 可看作是方程， 121 ??? xx 二、填空題： 如果一元二次方程 04 22 ??? kxx 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么 k ＝ 2? 。 012)14(2 22 ????? kxkx方程解： ? 098 ??? k 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 89???k 0)12(8)]14([ 22 ???????? kk 已知 21 xx， 是方程 0472 2 ??? xx 的兩根，則 21 xx? ＝ 27 ， 21xx ＝ 2 ， 221 )( xx ? ＝ 41724)27(4)( 221221 ?????? xxxx 若關(guān)于 x 的方程 01)2()2( 22 ????? xmxm 的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則 m ＝ 3? 。時(shí)，原方程有兩個(gè)不相且 04 ??? mm 已知關(guān)于 x 的方程 07)3(10 2 ????? mxmx ，若有一個(gè)根為 0，則 m =7 ，這時(shí)方程的另一個(gè)根是 1；若兩根之和為－ 35 ，則 m = 9? ，這時(shí)方程的 兩個(gè)根為 158 21 ??? xx ，. 07)3(10)1( 2 ????? mxmx設(shè)方程解： ，則：、設(shè)原方程兩根為 ba)2( ，則：另一根為 1x 10 710 3 ????? mabmba ， 1030 1 ??? mx ① 53?原方程兩根之和為? 1070 1 ??? mx ② 5310 3 ????? mba 由②，得： 7?m 9???m 代入將 7?m ①，得： 0835 2 ???? xx原方程可化為： 11?x 0)1)(85( ???? xx 017 1 時(shí)，方程一根為， ??? xm 158 ???? xx 或 如果 5)1(2 22 ???? mxmx 是一個(gè)完全平方式，則 m =2 ； 05)1(2 22 ????? mxmx解：令 0204)12(4 22 ?????? mmm 是完全平方式5)1(2 22 ???? mxmx? 0168 ??? m 有兩個(gè)相等實(shí)根方程 05)1(2 22 ?????? mxmx 2??m 0)5(4)]1(2[ 22 ???????? mm 方程 6)4(2 2 ??? xmxx 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù) m =2 。 )4()3)(1(2 ???? mxmxx解：將方程 mm 32 27 ??? 06)27(2 2 ???? mxmx化簡(jiǎn)，得： 2?? ，則：，設(shè)方程兩根為 21 xx 048)]27([2 2 ??????? mmm 時(shí)，當(dāng)? mxxmxx 32 27 2121 ???? ， 2??m 積相等方程兩根的和與兩根的? 設(shè)關(guān)于 x 的方程 062 ??? kxx 的兩根是 m 和 n ，且 2023 ?? nm ，則 k 值為 16? 。 原方程有實(shí)數(shù)根解： ? 34 ??? m 0)1(4)]12([ 22 ???????? mm 43???m 044144 22 ?????? mmm 根。 323