實(shí)變函數(shù)測試題與答案-展示頁
2025-07-01 13:53本頁面
【正文】 f在E上幾乎處處有限 A. f在E上可積 B. f 在E上可測 C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（見教材，不贅述！）。 4. 若 |f(x)| 在E上可測，則f(x) 在E上可測（不正確！如） 5. 若f(x) 在E上有界可測，則f(x) 在E上可積（不正確！如有界可測，但不可積） 二、將正確答案填在空格內(nèi)1． 至多可數(shù)個(gè) 可數(shù)集之并是可數(shù)集。（正確！教材已證的定理）。一、判定下列命題正確與否，簡明理由(對正確者予以證明，對錯(cuò)誤者舉處反例) 1. 非可數(shù)的無限集為c勢集，（不正確！如：直線上的所有子集全體不可數(shù)，但其勢大于c）。舉例說明無限個(gè)開集之交不一定是開集。A. 任意多個(gè) B. 有限個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè) 3. 可數(shù)個(gè)開集之交是_____A開集 B閉集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可積，則_______A. f在E上可積 B. f 在E上可測 C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限 三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（共9分，每小題3分）。 3. 若mE=0，則E為可數(shù)集 4. 若 |f(x)| 在E上可測，則f(x) 在E上可測 5. 若f(x) 在E上有界可測，則f(x) 在E上可積 二、將正確答案填在空格內(nèi)（共8分，每小題2分）1. ______可數(shù)集之并是可數(shù)集。實(shí)變函數(shù)試題一，填空題1. 設(shè), , 則.2. ,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的一一映射為3. 設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的 集合，則，.4. 若集合滿足, 則為集.5. 若是直線上開集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間, 則滿足:, .6. 設(shè)使閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集, 則.7. 若, 則說在上.8. 設(shè), ,若,則稱是的聚點(diǎn).9. 設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列, 是上 幾乎處處有限的可測函數(shù), 若, 有, 則稱在上依測度收斂于.10. 設(shè), 則的子列, 使得.二, 判斷題. 正確的證明, 錯(cuò)誤的舉反例. 1. 若可測, 且,則.2. 設(shè)為點(diǎn)集, , 則是的外點(diǎn). 3. 點(diǎn)集的閉集.4. 任意多個(gè)閉集的并集是閉集.5. 若,滿足, 則為無限集合.三, 計(jì)算證明題1. 證明:2. 設(shè)是空間中以有理點(diǎn)(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心, 有理數(shù)為半徑的球的全體, 證明為可數(shù)集. 3. 設(shè),且為可測集, .根據(jù)題意, 若有 , 證明是可測集.4. 設(shè)是集, .求.5. 設(shè)函數(shù)在集中點(diǎn)上取值為, 而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上取值為, , 求.6. 求極限: .實(shí)變函數(shù)試題解答一 填空題1. .2. 3. 。 .4. 閉集.5. 6. .7. 幾乎處處收斂于 或 收斂于.8. 對有.9. 10. 于.二 判斷題1. . 例如, , , 則且,但.2. . 例如, , 但0不是的外點(diǎn).3. . 由于.4. . 例如, 在 中, , 是一系列的閉集, 但是不是閉集. 5. . 因?yàn)槿魹橛薪缂? 則存在有限區(qū)間, , 使得, 則于.三, 計(jì)算證明題.1. 證明如下:2. 中任何一個(gè)元素可以由球心, 半徑為唯一確定, , 跑遍所有的正有理數(shù), 跑遍所有的有理數(shù). 因?yàn)橛欣頂?shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集, 故為可數(shù)集. 3. 令, 則且為可測集, 于是對于, 都有, 故,令, 得到, 故可測. 從而可測.4. 已知, 令, 則.5. 將積分區(qū)間分為兩兩不相交的集合: , , , 其中為集, 是的余集中一切長為的構(gòu)成區(qū)間(共有個(gè))之并. 由積分的可數(shù)可加性, 并且注意到題中的, 可得 6. 因?yàn)樵谏线B續(xù), 存在且與的值相等. 易知由于在上非負(fù)可測， 且廣義積分收斂，則在上可積， 由于， ，于是根據(jù)勒貝格控制收斂定理，得到.一、判定下列命題正確與否，簡明理由(對正確者予以證明，對錯(cuò)誤者舉處反例)（15分，每小題3分）1. 非可數(shù)的無限集為c勢集 2. 開集的余集為閉集。A. 任意多個(gè) B. c勢個(gè)? C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè) 2. _____閉集之并交是閉集。四、證明下列集合等式（共6分，每小題3分）：1. SS=(SS
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