【正文】 ，7s的仿真結(jié)果：圖十五 初始狀態(tài)的鯊魚(yú)和小魚(yú)圖十六 仿真2s后的鯊魚(yú)和小魚(yú)圖十七 仿真4s后的鯊魚(yú)和小魚(yú)圖十八 仿真7s后的鯊魚(yú)和小魚(yú)上面四幅圖中紅色的點(diǎn)為鯊魚(yú)，其它小點(diǎn)都是小魚(yú)。魚(yú)群的這種行為，可以看成是當(dāng)鯊魚(yú)進(jìn)入魚(yú)群的感知范圍時(shí)，魚(yú)群受到鯊魚(yú)的排斥力而改變了它們的運(yùn)動(dòng)方向，而小魚(yú)之間的相互作用力也存在，這就相當(dāng)于在第一問(wèn)式（11）求得合力的基礎(chǔ)上再加一個(gè)較大的排斥力，修改（11）式如下： （15）其中，表示鯊魚(yú)對(duì)小魚(yú)（該條小魚(yú)能感知到鯊魚(yú)）的排斥力，k為常數(shù)；，為小魚(yú)與鯊魚(yú)之間的相對(duì)位置。 魚(yú)群躲避鯊魚(yú)行為的建模與仿真問(wèn)題一中的模型只考慮了個(gè)體之間的相互影響，而忽視了環(huán)境對(duì)個(gè)體運(yùn)動(dòng)的影響，而動(dòng)物的行為常常會(huì)受到環(huán)境因素（敵人，障礙，食物等）的影響。從仿真結(jié)果來(lái)看，我們還發(fā)現(xiàn)了另一結(jié)論，當(dāng)某一群體的個(gè)體數(shù)目越少時(shí)，越容易發(fā)生落單的現(xiàn)象，下面分給出10個(gè)、30個(gè)、60個(gè)個(gè)體在10s時(shí)的仿真結(jié)果：圖十四 10個(gè)、30個(gè)、60個(gè)個(gè)體在10s時(shí)的仿真從圖十四可以看出，當(dāng)個(gè)體只有10個(gè)時(shí)，各個(gè)體朝四周運(yùn)動(dòng)，基本不存在集群行為；而當(dāng)個(gè)體為30個(gè)時(shí)，大部分個(gè)體集群在一起，而且速度能趨近一致，但是有少部分個(gè)體會(huì)落單，速度朝著遠(yuǎn)離群體的方向；當(dāng)個(gè)體達(dá)到60個(gè)時(shí)，所有個(gè)體都集群在一起，而且速度基本一致，不存在落單的現(xiàn)象。假設(shè)動(dòng)物的最大運(yùn)動(dòng)速率，最大加速度，感知半徑，平衡距離，質(zhì)量，為了使動(dòng)物群體盡快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，我們?cè)O(shè)置所有動(dòng)物個(gè)體的初始速度方向指向第一象限，但具體方向隨機(jī)產(chǎn)生，根據(jù)上述迭代公式進(jìn)行仿真，下面分別給出初始狀態(tài)、5s， 10s的仿真結(jié)果：圖十 初始狀態(tài)圖十一 圖十二 5s時(shí)的仿真結(jié)果圖十三 10s時(shí)的仿真結(jié)果圖中箭頭方向?yàn)閭€(gè)體的速度方向，從以上四幅圖可以看出，初始狀態(tài)位置分散，而且速度方向不一致；，但速度方向雜亂無(wú)章，這說(shuō)明動(dòng)物群體會(huì)先調(diào)整各自的間距，使它們相互靠近以免落單，但又不至于相互碰撞；到了5s時(shí)，動(dòng)物個(gè)體之間的相對(duì)位置基本不變，但速度方向更趨近于一致，這說(shuō)明動(dòng)物個(gè)體調(diào)整好各自的間距后，會(huì)在保持相對(duì)位置基本不變的基礎(chǔ)上，調(diào)整各自的速度使其盡量保持一致；到了10s時(shí)，個(gè)體之間的速度方向已經(jīng)高度一致，而且個(gè)體之間的間距沒(méi)有發(fā)生大的變化，但從坐標(biāo)上來(lái)看，它們的位置已經(jīng)發(fā)生了變化，這證明了前一觀點(diǎn)。由三個(gè)基本原則可知，每一個(gè)個(gè)體都要盡量與其他個(gè)體的速度保持一致，這也會(huì)引起當(dāng)前個(gè)體速度的改變。圖八 勢(shì)函數(shù)及其產(chǎn)生的力從上圖可以看出，當(dāng)時(shí)，個(gè)體和之間表現(xiàn)為排斥力；當(dāng)，個(gè)體和個(gè)體之間表現(xiàn)為吸引力；當(dāng)，個(gè)體和之間既不吸引也不排斥，此時(shí)勢(shì)能最小。勢(shì)函數(shù)的定義[4]：一對(duì)相鄰動(dòng)物個(gè)體和的勢(shì)函數(shù)是可微、非負(fù)、關(guān)于相鄰個(gè)體和之間的間距徑向無(wú)界的，并且：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)相鄰個(gè)體和之間達(dá)到希望的平衡間距時(shí)，即時(shí)，取其唯一的極小值。動(dòng)物個(gè)體之間有一個(gè)平衡距離，當(dāng)時(shí)，兩者之間表現(xiàn)為吸引力；當(dāng)時(shí)，兩者之間表現(xiàn)為排斥力。由牛頓第二定理，為合外力，m為質(zhì)量。同時(shí)此模型假設(shè)各動(dòng)物的速率相等且保持不變，而且動(dòng)物的速度在一瞬間就可以到達(dá)期望的方向，這顯然是不合理的，所以我們對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)。從以上這些方面分析，此模型在一定程度上能夠反映動(dòng)物的集群行為。而5s時(shí)各動(dòng)物個(gè)體的速度方向趨近一致，位置也相對(duì)集中了，但速度方向并未高度一致，根據(jù)聚合原則，它們還會(huì)朝著集合的趨勢(shì)運(yùn)動(dòng)。是權(quán)重，反映各規(guī)則對(duì)動(dòng)物個(gè)體運(yùn)動(dòng)的影響程度，不同的動(dòng)物取值有差異。這種慣性作用阻止運(yùn)動(dòng)方向的改變，設(shè)為： （5）為當(dāng)前動(dòng)物個(gè)體的速度。假設(shè)每個(gè)動(dòng)物個(gè)體都要遵守以上三條規(guī)則，這三條規(guī)則對(duì)改動(dòng)物個(gè)體下一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向起作用。如下圖所示：圖四 調(diào)整原則示意圖某動(dòng)物由于調(diào)整原則產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方向向量為，公式表示為： （4）unite是將向量進(jìn)行單位化，因?yàn)榉较蛳蛄渴怯脝挝幌蛄勘硎镜摹Ｔ搫?dòng)物由于分離原則所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方向用一個(gè)向量來(lái)表示，即為： （2）其中，表示當(dāng)前動(dòng)物的位置坐標(biāo)。當(dāng)某動(dòng)物和它的鄰居靠的太近時(shí)，這些鄰居的中心會(huì)排斥該動(dòng)物，使其向相反方向離開(kāi)，此時(shí)的排斥鄰居中心為觀察范圍內(nèi)且相對(duì)距離小于平衡距離的各個(gè)體所在位置的平均值。 Reynolds最近的論文[3]對(duì)以上三條規(guī)則做了詳細(xì)的解釋?zhuān)赃@三條規(guī)則是可信的。 2)調(diào)整(alignment)：試圖與鄰近的群成員保持速度匹配。當(dāng)個(gè)體之間的距離大于該值時(shí),個(gè)體將朝著接近的方向運(yùn)動(dòng)。(6)平衡距離:個(gè)體之間的平衡距離。(4)加速度:個(gè)體改變速度大小的能力。個(gè)體的感知范圍取決于所定義鄰域半徑的大小和個(gè)體與領(lǐng)域之間的夾角（本文中），感知范圍越大,表明該個(gè)體與其它個(gè)體的作用越強(qiáng)，如下圖所示：圖一 感知范圍示意圖(2)位置:個(gè)體位置向量由一組坐標(biāo)(x, y，z)表示。個(gè)體之間的交互作用是局部的,只能發(fā)生在所定義的鄰域內(nèi)。由于該問(wèn)不考慮動(dòng)物覓食、避險(xiǎn)等行為，只研究動(dòng)物的集群行為，所以在這里忽略環(huán)境對(duì)動(dòng)物行為的影響，假設(shè)動(dòng)物的活動(dòng)范圍無(wú)窮大。環(huán)境是個(gè)體的生存空間,個(gè)體在環(huán)境中活動(dòng),收集環(huán)境中的各種信息（食物，障礙，敵人等等）；個(gè)體的特性（感知范圍，速度，加速度等）制約了個(gè)體的運(yùn)動(dòng)，而個(gè)體的總和構(gòu)成了研究的群體對(duì)象。2 模型假設(shè)1. 假設(shè)所有動(dòng)物個(gè)體都可以看成質(zhì)點(diǎn)；2. 假設(shè)動(dòng)物群體中的決策者會(huì)通過(guò)一種特殊信息（氣味，動(dòng)作等）通知其他個(gè)體。 2. 建立數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)魚(yú)群躲避黑鰭礁鯊魚(yú)的運(yùn)動(dòng)行為。研究動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，建立數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)、躲避威脅等行為，對(duì)智能群體(flock／swarm)的協(xié)調(diào)控制問(wèn)題有重要地作用。近幾十年來(lái)，智能群體(flock／swarm)的協(xié)調(diào)控制問(wèn)題引起了研究人員的極大關(guān)注。結(jié)合問(wèn)題一中改進(jìn)的模型和LeaderFollower模型，通過(guò)matlab編程仿真得到的結(jié)果反映了Leader對(duì)整個(gè)群體的作用和影響。仿真得到的結(jié)果反映，當(dāng)有鯊魚(yú)出沒(méi)時(shí)，魚(yú)群會(huì)迅速改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，逃離鯊魚(yú)的攻擊。上述結(jié)論都是符合實(shí)際情況的，說(shuō)明改進(jìn)后的模型更合理。改進(jìn)模型引入了勢(shì)場(chǎng)函數(shù)，將個(gè)體之間的相互作用抽象成吸引力和排斥力，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定理描述個(gè)體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文首先基于boid模型的三原則，從個(gè)體出發(fā)，對(duì)動(dòng)物個(gè)體進(jìn)行建模,分析個(gè)體之間的行為規(guī)則及相互影響，從而仿真出動(dòng)物的集群行為。動(dòng)物集群行為的建模與仿真動(dòng)物集群行為的建模與仿真摘要生態(tài)系統(tǒng)中,動(dòng)物個(gè)體的行為相對(duì)簡(jiǎn)單,集群后卻能表現(xiàn)出復(fù)雜的群體行為。個(gè)體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ),個(gè)體之間的組織結(jié)構(gòu)、個(gè)體行為之間的關(guān)系和群體行為的涌現(xiàn)機(jī)制是研究群體行為的關(guān)鍵要素。仿真結(jié)果在一定程度上反映了動(dòng)物集群行為的實(shí)際情況，但該模型對(duì)各個(gè)參數(shù)的設(shè)置非常敏感，動(dòng)物群體的速度不會(huì)趨于穩(wěn)定一致，而且此模型假設(shè)各動(dòng)物的速率相等且保持不變是不合理的，所以對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)。通過(guò)仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，動(dòng)物個(gè)體會(huì)先調(diào)整各自的間距，使其相互靠近以免落單，但又不至于相互碰撞；當(dāng)動(dòng)物個(gè)體之間的距離接近平衡距離時(shí)，動(dòng)物個(gè)體會(huì)保持相對(duì)位置基本不變，調(diào)整各自的速度方向使趨近一致并平穩(wěn)；另外，個(gè)體數(shù)目越多，出現(xiàn)落單的可能性就越小。魚(yú)群躲避鯊魚(yú)的行為，可以認(rèn)為是由鯊魚(yú)對(duì)魚(yú)群的排斥力引起的，所以在原有合力的基礎(chǔ)上再加上由鯊魚(yú)引起的斥力即得到小魚(yú)發(fā)現(xiàn)鯊魚(yú)后的合力。動(dòng)物群中的信息豐富者可以理解成LeaderFollower模型中的Leader，其他個(gè)體都是Follower。關(guān)鍵詞：集群行為 boid模型 勢(shì)函數(shù) leaderfollower模型 matlab仿真1 問(wèn)題重述在動(dòng)物界，通常有一些動(dòng)物會(huì)成群地行動(dòng)，它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有很明顯的特征：群中的個(gè)體聚集性很強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)方向、速度具有一致性。最近在通信，計(jì)算技術(shù)，以及相關(guān)問(wèn)題在生物學(xué)，社會(huì)行為學(xué)，統(tǒng)計(jì)物理，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)方面的進(jìn)展，大大推動(dòng)了此領(lǐng)域 的研究。從以下幾個(gè)方面分析建模：1. 建立數(shù)學(xué)模型模擬動(dòng)物的集群運(yùn)動(dòng)。3. 假定動(dòng)物群中有一部分個(gè)體是信息豐富者(如掌握食物源位置信息，掌握遷徙路線信息)，建模分析它們對(duì)于群運(yùn)動(dòng)行為的影響，解釋群運(yùn)動(dòng)方向決策如何達(dá)成。3 符號(hào)說(shuō)明 動(dòng)物的位置向量； 動(dòng)物與動(dòng)物的相對(duì)位置向量； 動(dòng)物的瞬時(shí)速度； 動(dòng)物的加速度； 動(dòng)物個(gè)體的最大速率； 動(dòng)物個(gè)體之間的平衡距離； 動(dòng)物個(gè)體的感知半徑； 動(dòng)物與動(dòng)物之間的勢(shì)場(chǎng)函數(shù)； 動(dòng)物對(duì)動(dòng)物的作用力； 動(dòng)物的鄰居個(gè)數(shù)；4模型建立與模型求解 動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的建模與仿真動(dòng)物集群行為由三部分因素構(gòu)成:環(huán)境、個(gè)體、行為規(guī)則。群體的演化過(guò)程由其行為規(guī)則集來(lái)控制,行為規(guī)則決定了個(gè)體與個(gè)體之間、個(gè)體與環(huán)境之間相互作用的方式。．1 個(gè)體的描述把每個(gè)動(dòng)物個(gè)體看成是一個(gè)能夠自主決策的智能體,它們會(huì)根據(jù)自己的觀察來(lái)感知周?chē)沫h(huán)境,并按照一定的規(guī)則決策。個(gè)體應(yīng)當(dāng)具有以下屬性:(1)感知范圍:個(gè)體所能感知的范圍。(3)速度:每個(gè)個(gè)體在運(yùn)動(dòng)時(shí)都具有一定的速度,它是瞬時(shí)的，具有大小和方向，用向量（x，y，z）表示。 (5)最大速度:每個(gè)個(gè)體的速度不可能無(wú)限增長(zhǎng),具有一個(gè)最大值。當(dāng)個(gè)體間的距離小于該值時(shí),個(gè)體將朝著遠(yuǎn)離的方向運(yùn)動(dòng)。 ．2 行為規(guī)則的描述1987年，Reynolds[2]提出了一個(gè)模仿動(dòng)物集群的計(jì)算機(jī)仿真模型，叫做Boid模型，Boid模型基于如下3條啟發(fā)式規(guī)則： 1)分離(separation)：避免與鄰近的群成員發(fā)生碰撞。 3)聚合(cohesion)：試圖與鄰近的群成員保持接近。 首先定義一個(gè)概念，當(dāng)前動(dòng)物能感知到的個(gè)體稱(chēng)為鄰居。圖二 分離原則示意圖排斥鄰居中心的公式表示為： （1）表示為，為排斥鄰居中心位置，為各排斥鄰居的位置，為排斥鄰居的數(shù)目。每個(gè)個(gè)體都有向鄰居中心靠攏的特性，鄰居中心為感知范圍內(nèi)且相對(duì)距離大于平衡距離的各個(gè)體所在位置的平均值（如圖三所示的綠色個(gè)體）：圖三 聚合原則示意圖中心位置的計(jì)算公式與排斥鄰居中心位置的計(jì)算類(lèi)似，用表示某動(dòng)物由于聚合原則所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方向用向量來(lái)表示，計(jì)算公式如下： （3）個(gè)體會(huì)不斷調(diào)整自己的運(yùn)動(dòng)方向，盡量和它的鄰居保持一致。為各個(gè)鄰居的速度，N為鄰居的個(gè)數(shù)。但動(dòng)物個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向不可能立刻改變,還表現(xiàn)了某種慣性的作用。設(shè)為下個(gè)周期動(dòng)物個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向向量,計(jì)算公式如下：（6）分別為分離原則，聚合原則，調(diào)整原則，慣性引起的方向向量。設(shè)個(gè)體運(yùn)動(dòng)速度速率為，那么個(gè)體k的位置迭代公式為： （7）假設(shè)動(dòng)物的運(yùn)動(dòng)速率，感知半徑，平衡距離，各權(quán)重，根據(jù)以上三個(gè)原則以及慣性所確定的位置迭代方程，通過(guò)matlab編程仿真，我們得到了動(dòng)物個(gè)體集群行為的仿真動(dòng)態(tài)圖，下面分別給出仿真的初始狀態(tài)，5s，10s的仿真結(jié)果：圖五 初始狀態(tài)圖六 5s時(shí)的仿真結(jié)果圖七 10s的仿真結(jié)果圖中箭頭方向表示個(gè)體的速度方向，分析圖五、六、七，初始狀態(tài)各動(dòng)物個(gè)體的速度方向是隨機(jī)的，雜亂無(wú)章，而且位置相對(duì)分散。所以到了10s時(shí)，動(dòng)物個(gè)體高度集中，此時(shí)分離原則將會(huì)占主導(dǎo)地位，所以從圖七可以看出它們的速度方向都是背離的。但是，該模型對(duì)各個(gè)參數(shù)的設(shè)置非常敏感，我們?cè)囍鴮?shù)設(shè)置成不同的值，發(fā)現(xiàn)仿真的結(jié)果有較大的區(qū)別，這就導(dǎo)致很難找到一組參數(shù)使動(dòng)物群體的運(yùn)動(dòng)速度和相對(duì)位置趨于平穩(wěn)并收斂于某個(gè)值，這對(duì)很多動(dòng)物群體是不適用的。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，動(dòng)物個(gè)體的運(yùn)動(dòng)都可以用位移、速度、加速度來(lái)描述，用公式表示如下： （8）上式的變化范圍從1到N，N為群體中動(dòng)物的總數(shù)目，表示動(dòng)物的位置向量，那么兩個(gè)動(dòng)物個(gè)體的相對(duì)位置向量為。上述的分離原則和聚合原則，可以抽象成排斥力和吸引力，這樣可以求出動(dòng)物個(gè)體的加速度，避免了速率不變的假設(shè)。這一現(xiàn)象類(lèi)似于分子之間的作用力，由物理知識(shí)可知，分子之間的作用力是由勢(shì)場(chǎng)引起的，所以在這里引入了勢(shì)函數(shù)來(lái)描述動(dòng)物個(gè)體之間的吸引力和排斥力。本文選取相鄰個(gè)體和之間的勢(shì)函數(shù)為： （9）其中c為常數(shù)，由物理知識(shí)可知，相鄰個(gè)體和之間所產(chǎn)生的力為： （10）表示個(gè)體對(duì)個(gè)體的作用力，下圖給出上式所描述的相鄰個(gè)體和間的勢(shì)函數(shù)及其產(chǎn)生的排斥力或吸引力隨的變化曲線。那么，個(gè)體受到的合力的向量形式為： （11）個(gè)體由于受到周?chē)従拥奈团懦饬λ鸬募铀俣葹椋? （12）為個(gè)體周?chē)従拥膫€(gè)數(shù)。鄰居的速度方向引起個(gè)體速度的改變可以由下圖表示：圖九 速度一致原則速度一致原則引起個(gè)體的加速度取各鄰居引起的加速度的平均值為： （13）那么，合成加速度為，那么個(gè)體運(yùn)動(dòng)迭代公式為： （14）式中為時(shí)間步長(zhǎng)。10s以后的仿真圖沒(méi)有給出，但從10s以后的仿真結(jié)果來(lái)看，動(dòng)物群體基本保持此間距和速度方向往前運(yùn)動(dòng)，但會(huì)有波動(dòng)。所以，在自然界中，動(dòng)物（如鳥(niǎo)類(lèi)，魚(yú)類(lèi)等）的集群行為通常是成千上萬(wàn)的個(gè)體，很少出現(xiàn)幾十個(gè)個(gè)體集群的現(xiàn)象，這樣能保證所有個(gè)體都不會(huì)落單。例如當(dāng)魚(yú)群遇到鯊魚(yú)時(shí)，會(huì)改變自己