【正文】 多種散射機(jī)制存在下，總的散射幾率是： ??i iPP總散射馳豫時(shí)間 1111/ ki iP????? ?電阻率源于傳導(dǎo)電子的散射，固體因缺陷、雜質(zhì)、晶格振動(dòng)、庫(kù)侖作用等，往往存在著多種散射機(jī)制 Pi代表第 i 種機(jī)制 單位時(shí)間內(nèi) 的散射幾率 2nem????由于 22111 ki immn e n e? ??????? ?故有意味著總電阻率是不同散射機(jī)制引起的電阻率之和 馬西森 (Matthiessen)定則 0 ph e e m ag? ? ? ? ???＝ ＋剩余電阻率 聲子散射有關(guān)的電阻率 電子－電子相互作用有關(guān)的電阻率 磁散射有關(guān)的電阻率 導(dǎo)體 雜質(zhì)、缺陷等散射 電子－聲子相互作用 電子－電子相互作用 磁散射 導(dǎo)體電阻率至少包含四個(gè)部分 167。(0 ) . . . . . .xdff x f fdx ?? ? ?（00) ( ) ( )eef k f k E f k E?? ?? ? ? ?（因此，該式相當(dāng)于上述泰勒展開(kāi)式的一級(jí)近似 借助分布函數(shù)電流密度可表示為 由于平衡分布對(duì)電流沒(méi)有貢獻(xiàn) 1314 kJ e f dk???? ?相當(dāng)于 同時(shí)注意到 00 ....fef f Ek? ?? ? ? ? ??00 11()eff ffer kr kkE B? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??167。 一般可以用弛豫時(shí)間 ? 來(lái)描述這個(gè)恢復(fù)過(guò)程： 溫度場(chǎng) 、 電場(chǎng) 、 磁場(chǎng)及碰撞作用同時(shí)存在下的 Boltzmann方程 00 11()eff ffer kr kkE B??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??溫度場(chǎng) 電場(chǎng) 磁場(chǎng) 碰撞 kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? coll0 1()c ol lff fft ???? ? ? ? ??(4)碰撞 (1)溫度場(chǎng) 00fff Tur T u??? ? ? ? ?? ? ?(2)電場(chǎng) 0..e ffkkEk? ?? ????(3)磁場(chǎng) 1. ) .( ffekkk Bk ?? ??? ? ???得到 代入 167。 0ffft ??? ???(4)碰撞 負(fù)號(hào)源于偏離隨時(shí)間的增加而減小。 外場(chǎng)和碰撞作用 (1)溫度場(chǎng) 溫度梯度的存在引起不均勻的分布函數(shù) 通常假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對(duì)于平衡分布偏離甚少 01f f f??0 1f ffr r r? ?? ??? ? ?0fr???00ffTuTu??? ? ? ???(2)電場(chǎng) eEk???0 1. .[ ]f ffk k kkk?? ? ????? ? ?0. fkk? ???0.e fkE ????忽略掉溫度梯度對(duì) f1的影響 ( ) /0 1 /[ 1 ]Bu k Tfe ? ???kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? coll(1)溫度場(chǎng) 01f f f??00fff Tur T u??? ? ? ? ?? ? ?(2)電場(chǎng) 0..e ffkkEk? ?? ????(3)磁場(chǎng) eBk ??? ? ?0 1. .[ ]f ffk k kkk?? ? ????? ? ?1. fkk? ???1).( fek kB??? ? ??0 0 0f f f kkk??? ?? ? ????????0. ( ) . 0f kkk Bk ??? ?? ? ? ??(3)磁場(chǎng) 1. ) .( ffekkk Bk ?? ??? ? ???kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? coll玻爾茲曼方程最復(fù)雜的是碰撞項(xiàng)的處理，為了方便，可以做一些簡(jiǎn)化。 ) / 8nf r k t d r d k ?每一個(gè)電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為 n通常不標(biāo)出 ， 因?yàn)榭紤]的是同一帶中的電子 ke??所以總電流密度為 314 kJ e f dk???? ?碰撞以及碰撞和外場(chǎng)同時(shí)作用對(duì) f 的影響？ ?在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒(méi)有外場(chǎng)作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費(fèi)米分布函數(shù) 與位置無(wú)關(guān) 。 Boltzmann方程 對(duì)固體中電子輸運(yùn)性質(zhì)的了解，除載流子受到的散射或碰撞外，需要知道 外場(chǎng)作用下載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 以及外場(chǎng)和碰撞同時(shí)作用對(duì)載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響。固體物理 （ II） 第八章 電子輸運(yùn)理論及性質(zhì) 第九章 半導(dǎo)體電子論 第十章 固體的磁性 第十一章 超導(dǎo)電性 第八章 電子輸運(yùn)理論及性質(zhì) 能帶結(jié)構(gòu) 輸運(yùn)性質(zhì) 載流子受到的散射或碰撞 三個(gè)問(wèn)題 外場(chǎng)下作用下載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 外場(chǎng)和碰撞同時(shí)作用對(duì)載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響 引入馳豫時(shí)間描述 采用半經(jīng)典模型 引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結(jié)到對(duì)分布函數(shù)的影響 外場(chǎng)下 Bloch電子運(yùn)動(dòng)的半經(jīng)典模型 Boltzmann方程 外場(chǎng)和碰撞作用 馳豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論 電 聲子相互作用 金屬電導(dǎo)率 電阻率 磁輸運(yùn)性質(zhì) 霍爾效應(yīng) 磁電阻效應(yīng) 熱輸運(yùn)性質(zhì) 熱電效應(yīng) 熱導(dǎo)率 熱電勢(shì) 對(duì)外電場(chǎng)、磁場(chǎng)采用經(jīng)典方式處理 半經(jīng)典含義 對(duì)晶格周期場(chǎng)采用能帶論量子力學(xué)方式處理 模型 每個(gè)電子具有確定的位置 r 、波矢 k 和能帶指標(biāo) n 建立模型描述 r 、 k 和 n 隨時(shí)間的變化規(guī)律 能帶指標(biāo) 電子的速度 波矢隨時(shí)間的變化 1/ ( ) ( )n k ndr dt k k??? ? ?.n cons?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???(1)電子總呆在同一能帶中 (2)忽略不同帶間的躍遷 167。 Bloch電子運(yùn)動(dòng)的半經(jīng)典模型 1/ ( ) ( )n k ndr dt k k??? ? ?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???Bloch 電子的運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)晶格周期場(chǎng)的量子力學(xué)處理全部概括在 函數(shù)中 ()n? k能帶結(jié)構(gòu) 輸運(yùn)性質(zhì) 半經(jīng)典模型使能帶結(jié)構(gòu)與輸運(yùn)性質(zhì)即電子對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)相聯(lián)系 輸運(yùn)性質(zhì) 能帶結(jié)構(gòu) 同基于理論得到的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較從而驗(yàn)證能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)的正確與否 提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷出電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ) 基于輸運(yùn)性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果 推斷出電子的能帶結(jié)構(gòu) 167。 外場(chǎng)下載流子運(yùn)動(dòng)規(guī)律可基于半經(jīng)典模型 現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場(chǎng)同時(shí)作用對(duì)載流子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響？ 引入分布函數(shù) ， 并將這些影響歸結(jié)到對(duì)分布函數(shù)的影響 定義 對(duì)于單位體積樣品， t時(shí)刻、第 n個(gè)能帶中，在（ r,k） 處 相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為： drdk3( , 。 ?有外場(chǎng) /溫度不均勻時(shí) ， 電子將偏離熱平衡 ，相應(yīng)的分布函數(shù) , , )f r k t（( , )rk 點(diǎn)范圍內(nèi) , , )f r k t（如何隨時(shí)間變化呢？ 0 ( ) /1()1kBk u k Tfe ?? ???, , )r v dt k k dt t dt? ? ?（, , )r k t（, , )f r k t（t 時(shí)刻（ r,k）處的電子 由于碰撞的存在 ， dt 時(shí)間內(nèi)從 （ rdr,kdk） 處出發(fā)的電子并不都能到達(dá) （ r,k） 處 ，另一方面 ， t 時(shí)刻 （ r,k） 處的電子也并非都來(lái)自 tdt 時(shí)刻 （ rdr,kdk） 處漂移來(lái)的電子 ， 因此有： ( , , ) ( , , )f r k t f r d t k k d t t d t?? ? ? ?( , , ) ( , , )f r k t f r dt k k dt t dt?? ? ? ? ? 碰 撞 項(xiàng)若將因碰撞引起的 f 變化寫(xiě)成 則有 ( / )collft??( , , ) ( , , ) ( ) c ollff r k t f r dt k k dt t dt dtt? ?? ? ? ? ? ?必來(lái)自 tdt 時(shí)刻（ rdr,kdk）處漂移來(lái)的電子 若沒(méi)有碰撞，則有 , , )f r v dt k k dt t dt? ? ?（kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? coll玻爾茲曼方程 ( , , ) ( , , ) ( ) c ollff r k t f r dt k k dt t dt dtt? ?? ? ? ? ? ?右邊第一項(xiàng)展開(kāi)，保留到 dt的線性項(xiàng)，有 ( , , ) ( , , ) ( ) c o l lf f f ff r k t f r k t r k d t d tt r tk????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ????() c ol lf f f frkt r tk??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??對(duì)于穩(wěn)態(tài) 0ft? ??kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? collBoltzmann方程 決定于體系的能帶結(jié)構(gòu) 與外場(chǎng)有關(guān) 因此， Boltzmann方程將能帶結(jié)構(gòu)、外場(chǎng)作用以及碰撞作用通過(guò)引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ) 半經(jīng)典模型 1/ ( ) ( )n k ndr dt k k??? ? ?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???167。 假設(shè) 沒(méi)有外場(chǎng) ，也 沒(méi)有溫度梯度 ，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機(jī)制來(lái)恢復(fù)平衡態(tài)的分布。 方程的解： /0 1 1 ( 0 ) tf f f f t e ??? ? ? ?該方程說(shuō)明：由于碰撞作用 ， 系統(tǒng)將以時(shí)間常數(shù) ? 弛豫回到平衡分布 。 固體 電阻率 314 kJ e f dk???? ?在沒(méi)有溫度場(chǎng) 、 磁場(chǎng)的情況下 ， 僅有電場(chǎng)時(shí)的 Boltzmann方程為 0 1e f fkE??? ? ? ??00fef f Ek? ?? ? ??泰勒定理 ： 0) (0 ) 39。 直流 電導(dǎo)率 說(shuō)明：在電場(chǎng)作用下，分布函數(shù)相當(dāng)于平衡分布函數(shù)沿著外場(chǎng)相反的方向剛性移動(dòng)了 e E??e E?? 或者說(shuō)，在 k空間中，外加電場(chǎng)引起費(fèi)米球剛性平移了 注意到 00kkff ???? ? ??00 kef f E f?? ? ??00 ()ff f v E e???? ? ??0) ( )ef k f k E????（e E??0 ()f vk????1/ ( )kv k m k?? ? ?知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對(duì)分布函數(shù)在相空間求積分： 1314J e v f dk??? ?03 ()4fe v e v E dk????? ? ???00 ()ff f v E e???? ? ??010 ()ff f f v E e???? ? ? ??兩個(gè)等能面之間的距離為 dk? 面元為 ds 體積元為 d k d sd k ??由于： kd d k?? ???kd sddk ????203 ()4kfe dsdJ v v E ??? ? ??? ? ????01()e x p [ ( ) / ] 1k k