【正文】 ?? ? ???0 220()( ) c o s ( ) ( )()t sf t e t t F ss? ?????? ?? ? ???00 220( ) s i n ( ) ( )()tf t e t t F ss? ??????? ? ??? 拉普拉斯變換 同理： 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 6. 單邊雙曲函數(shù) 22( ) c ( )sf t h t F ss??? ? ??1c2tth t e e??? ???（）證明： 1 1 122tteess????? ????? ???????2 2 2 2122ssss???????????? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 7. t 的正冪信號 1!( ) ( ) ( )nnnf t t t F ss? ?? ? ? 拉普拉斯變換 令 u= t n dv= e stdt du = n t n1dt v = est/ s 0n n stt t e d t? ??? ??? ?L 10 0n stst ntee n t dtss?????? ? ? ?100 s t nn e t d ts? ???? ?1nn ts??????L 21 nnn tss?? ??????L 011 2 2 1 !nn n n nts s s s s s ??? ??? ? ? ? ???L 證明： 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 典型信號的拉普拉斯變換 1 )( ?t?1( ) ? ?ts1( ) ?? ??atetsa( s ) )( Ftf ?原函數(shù) 像函數(shù) 00 220s in ( ) tt s ??? ?? ?0 220c o s ( ) stt s?? ?? ?1!( ) ???nnntts下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 作業(yè) ? （ 2）（ 3） ? （ b） 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 拉氏變換的性質(zhì) 1 線性性質(zhì) 若 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s??則 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )af t bf t aF s bF s? ? ?拉氏變換性質(zhì)與傅里葉變換性質(zhì)極為相似。 解： 000()0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()111 l im 1 l ims t s t s tstt s ts t t j tttF s f t e d t f t e d t f t e d tee e d tse e ess??? ? ? ??????? ? ?? ? ? ????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??欲使 F(s)存在，除非 ()l im 0t j ttee? ? ?? ? ?? ? ??即 0???? ??? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 ( ) ( )tf t e t? ??由上例已知，對 ???有收斂域 故，當 α β時， f(t) 的收斂域為 α σ β 當 α β時， f(t) 的收斂域不存在， F(s)不存在。 解： （ 1）欲使 l i m ( ) l i m ( )t t tttf t e e e t? ? ? ????? ???()l i m ( ) 0tt et?? ???????成立 必須滿足 即 0??????? ?j?0 ???? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 方法（ 2） ()00( ) ( )( ) ( ) ( )()111 l i m 1 l i mst t sts a tt sts a t a t j tttF s f t e dt e t e dtee e dtsae e es a s a????????????????? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????－－1()Fs sa??????? ????無界?j?0 ?? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 例 ( ) ( )f t t?? 求收斂域。由于 F(s)的收斂域由 s 的實部 σ決定，與 s的虛部 jω無關(guān)，所以 , F(s)的收斂域的邊界是平行于jω軸的直線（如圖）。 | ( ) | l im ( ) 0??? ??? ??? ? ?? tt tf t e d t f t e即要求：下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 可見， F(s)是否存在取決于能否選取適當?shù)?σ使信號 f(t)eσt 收斂。 拉普拉斯變換 通常把使 f(t)e－ σt滿足絕對可積條件的 σ值的范圍稱為拉普拉斯變換的 收斂域 （ region of convergence， ROC）。 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 反之，亦可以根據(jù)傅氏反變換，求新的函數(shù) f( t) e–?t : 1( ) ( )2t j tf t e F j e d?? ? ? ???????? ? 拉普拉斯變換 ? σ t jω t1 F (j ω) = f( t)e e d t = F (σ + jω)∞∞等式兩邊同時乘以 e+? t 得： ()1( ) ( )2jtf t F j e d??? ? ??? ?????? js????令 則 1()ds d j jd d dsj? ? ? ?? ? ? ?而 ? ? ?? 時 sj?? ? ?1( ) ( )2j stjf t F s e dsj ???????? ?上式可寫為： 定義該式為 拉普拉斯反變換 ，簡稱 拉氏反變換 ?？梢胍粋€衰減因子函數(shù) e–?t (?為任意實數(shù) )，用它與信號 f (t)相乘成為新的函數(shù) f1(t)= f (t) e–?t , 這個新函數(shù)滿足絕對可積條件。 (4)傅立葉變換分析法只能確定零狀態(tài)響應(yīng)。而且其變換式中常含有沖激函數(shù)，使分析計算麻煩 (2) 有些重要函數(shù)如 eat (a0) 的傅里葉變換不存在，無法用傅里葉分析方法處理。通信基礎(chǔ)教學部 第四章 LTI連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的性質(zhì) 拉普拉斯反變換 拉普拉斯與傅里葉變換的關(guān)系 連續(xù) LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法 連續(xù) LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù) 連續(xù) LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性 連續(xù)系統(tǒng)域框圖和信號流圖 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 1. 從傅氏變換到拉氏變換 拉普拉斯變換 傅里葉變換有以下不足之處： (1) 要求信號 f(t)絕對可積。而有些常用信號不滿足該條件，不能直接從定義而導(dǎo)出它們的傅里葉變換。 而拉普拉斯變換作為傅里葉變換的推廣，把頻域擴展到復(fù)頻域，解決了上述不足。故分析具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)時，不太方便 ? ? 1( t) πδ( ω ) +jω(3) 傅里葉變換的反變換比較難求 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 1. 從傅氏變換到拉氏變換 一些信號不滿足絕對可積條件，其傅立葉變換不存在。據(jù)此，可寫出該函數(shù)的傅氏變換： tli m f ( t) 0?? ??? σ t jω t ( σ + jω ) t1 F ( j ω) = f ( t) e e dt = f ( t) e dt = F ( σ + jω)∞∞ 拉普拉斯變換 ( ) ( ) stF s f t e dt? ???? ?s= σ +j ω 令 定義該式為信號 f(t)的雙邊 拉普拉斯變換 ，簡稱 拉氏變換 。 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 于是，得到一個 拉氏變換對 ： 1( ) ( )2j stjf t F s e dsj ???????? ?( ) ( ) stF s f t e dt? ???? ?拉氏正變換 拉氏反變換 拉普拉斯變換 ( ) ( s )( s ) ( ) ( ) ( )f t FF f t f t F s?一對拉普拉斯變換對：是 的像函數(shù)； 是 的原函數(shù)下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 ROC (Region of Convergence) 由于 f(t)的雙邊拉普拉斯變換是信號 f(t)eσt 的傅里葉變換，因此，若 f(t)eσt 絕對可積，即 ? ??? ???tf(t )e d t?則 f(t) 的雙邊拉普拉斯變換一定存在。在收斂域內(nèi)，函數(shù)的拉普拉斯變換存在；在收斂域外，函數(shù)的拉普拉斯變換不存在。進一步說，由于 σ 是復(fù)頻率 s的實部， σ=Re[s]，所以， F(s)是否存在取決于能否選取適當?shù)?σ 。 ?0 ? j? 0 收 斂 坐 標 收斂域 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 例 ( ) ( ) ( 0)tf t e t? ???? 求收斂域。 解： 欲使 l i m ( ) l i m ( ) 0ttttf t e e t?? ???? ? ? ???成立 必須滿足 0? ??j?00? ? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 例 ( 0 )()( 0 )ttetftet????? ? ? ?? ?? ? ??求收斂域。 ?j?0 ?? ? ???? 拉普拉斯變換 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 3. 單邊拉普拉斯變換 時間域為（ ?∞， ∞）的拉氏變換叫做 雙邊拉氏變換 。在某些性質(zhì)中，只要把傅氏變換中的 j?用 s替代即可。如圖所示 ? ?( ) ( ) 0f a t f a t??Lt0 拉氏變換的性質(zhì) 下午 6時 47分 0秒 通信基礎(chǔ)教學部 拉氏變換的性質(zhì) ? 時移性 若 ， )()( sFtf ? 0000( ) ( ) ( () 0 )? ?? ? ?? stf t t F s e ttt則 例： 2 ( 1 ) ?tet?? ??解： ( 2 )2 2 2 ( 1 ) 2 1( 1 ) ( 1 )22st t s ee t e e t e ess????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???解： 2111tss? ? ?（不能用時移性） 例： ?1 ??t ( 1 ) ( 1 ) ?tt?? ? ?221()1( 1 ) ( 1 )?? ??? ? ? sttst t es若 ， ( ) ( )f t F j?? 則 00( ) ( ) jtf t t F j e ??