[理學(xué)]線性代數(shù)課后習(xí)題解答第四章習(xí)題詳解-展示頁(yè)
2025-01-18 01:18本頁(yè)面
【正文】 ? 線性相關(guān) , 但 1a 不能由 ,2 maa ? 線性表示 . (2) 有不全為零的數(shù) m??? , 21 ? 使 01111 ?????? mmmm bbaa ???? ?? 原式可化為 0)()( 111 ????? mmm baba ?? ? 取 mmm beabeabea ????????? , 222111 ?. 其中 mee ,1? 為單位向量 ,則上式成立 ,而 maa ,1 ? , mbb ,1 ? 均線性相關(guān) . (3) 由 01111 ?????? mmmm bbaa ???? ?? (僅當(dāng) 01 ??? m?? ? ) mm bababa ???? , 2211 ?線性無(wú)關(guān) 取 021 ???? m??? ? , 取 mbb ,1 ? 為線性無(wú)關(guān)組 . 滿足以上條件 ,但不能說是 m??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān)的 . (4) Ta )0,1(1 ? Ta )0,2(2 ? Tb )3,0(1 ? Tb )4,0(2 ? ?????????? ?????212211212211430 20 ???? ???? bb aa 021 ??? ?? 與題設(shè)矛盾 . 11．設(shè) 144433322211 , aabaabaabaab ???????? ,證明向量組 4321 , bbbb 線性相關(guān) . 證明 設(shè)有 4321 , xxxx 使得 044332211 ???? bxbxbxbx 則 0)()()()( 144433322211 ???????? aaxaaxaaxaax 31 0)()()()( 443332221141 ???????? axxaxxaxxaxx (1) 若 4321 , aaaa 線性相關(guān) ,則存在不全為零的數(shù) 4321 , kkkk , 411 xxk ?? 。 212 xxk ?? 。 434 xxk ?? 。 (2) )3,1,2,1(1 ?Ta , )6,5,1,4(2 ????Ta , )7,4,3,1(3 ????Ta . 解 (1) 3131 ,2 aaaa ??? 線性相關(guān) . 由?????????????????????????824241010094121321TTTaaa?????????? ??000032198204121~ 秩為 2,一組最大線性無(wú)關(guān)組為 21,aa . (2) ???????????????????????????743165143121321TTTaaa????????????????10550189903121~?????????? ???0000189903121~ 32 秩為 2,最大線性無(wú)關(guān)組為 TT aa 21, . 14．利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 ,并把其余列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示 : (1) ????????????4820322513454947513253947543173125。證明 B 組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣 K 的秩 rKR ?)( . 證明 ? 若 B 組線性無(wú)關(guān) 令 ),(),( 11 sr aaAbbB ?? ?? 則有 AKB? 由定理知 )()}(),(m i n {)()( KRKRARAKRBR ??? 由 B 組 : rbbb , 21 ? 線性無(wú)關(guān)知 rBR ?)( ，故 rKR ?)( . 又知 K 為 sr? 階矩陣則 },min{)( srKR ? 由于向量組 B : rbbb , 21 ? 能由向量組 A : saaa , 21 ? 線性表示 ,則 sr? rsr ?? },min{ 綜上所述知 rKRr ?? )( 即 rKR ?)( ． ? 若 rkR ?)( 令 02211 ???? rr bxbxbx ? ,其中 i 為實(shí)數(shù) ri ,2,1 ?? 則有 0),( 121 ???????????rr xxbbb ?? 又 Kaabb sr ),(),( 11 ?? ? ,則 0),( 11 ???????????rs xxKaa ?? 35 由于 saaa , 21 ? 線性無(wú)關(guān) ,所以 021??????????????rxxxK ? 即 ?????????????????????????00002211221122221121221111rrsssrrrrrrrrrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk???????????????????????????? （ 1） 由于 rKR ?)( 則 (1)式等價(jià)于下列方程組 : ???????????????????000221122221121221111rrrrrrrrrxkxkxkxkxkxkxkxkxk??????????????? 由于 0212221212111?rrrrrrkkkkkkkkk?????? 所以方程組只有零解 021 ???? rxxx ? .所以 rbbb , 21 ? 線性無(wú)關(guān) , 證畢 . 20 設(shè) ????????????????????????????????????????????????? 1321312321 nnnn????????????? 證明向量組 1 2 ? ? ? n與向量組 1 2 ? ? ? n等價(jià) 證明 將已知關(guān)系寫成 ??????????????????????????????????????????????0111101111011110) , , ,() , , ,( 2121 nn ?????? 將上式記為 B?AK 因?yàn)? 0)1()1(0111101111011110|| 1 ???????????????????????????????? ? nK n 36 所以 K可逆 故有 A?BK ?1 由 B?AK和 A?BK ?1可知向量組 1 2 ? ? ? n與向量組 1 2 ? ? ? n可相互線性表示 因此向量組 1 2 ? ? ? n與向量組 1 2 ? ? ? n等價(jià) 21 已知 3階矩陣 A與 3維列向量 x滿足 A3x?3Ax?A2x 且向量組 x Ax A2x線性無(wú)關(guān) (1)記 P?(x Ax A2x) 求 3階矩陣 B 使 AP?PB 解 因?yàn)? AP?A(x Ax A2x) ?(Ax A2x A3x) ?(Ax A2x 3Ax?A2x) ?????????? 110 301000) , ,( 2 xxx AA 所以 ?????????? 110 301000B (2)求 |A| 解 由 A3x?3Ax?A2x 得 A(3x?Ax?A2x)?0 因?yàn)?x Ax A2x線性無(wú)關(guān) 故 3x?Ax?A2x?0 即方程 Ax?0 有非零解 所以 R(A)?3 |A|?0 22．求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 : (1)????????? ????????02683 054202108432143214321xxxx xxxxxxxx (2)????????? ????????03678 024530232432143214321xxxx xxxxxxxx (3) 02)1( 121 ????? ? nn xxxnnx ?. 解 (1)????????????????????????????0000 414310 04012683154221081 ~初等行變換A 所以原方程組等價(jià)于 ????? ????4323141434 xxx xx 37 取 3,1 43 ??? xx 得 0,4 21 ??? xx 。 取 19,0 43 ?? xx 得 7,1 21 ?? xx . 因此基礎(chǔ)解系為??????????????????????????19071,210021 ?? (3)原方程組即為 121 2)1( ??????? nn xxnnxx ? 取 0,1 1321 ????? ?nxxxx ?得 nxn ?? 取 0,1 14312 ?????? ?nxxxxx ?得 )1( ?????? nnx n ?? 取 0,1 2211 ????? ?? nn xxxx ?得 2??nx 所以基礎(chǔ)解系為????????????????????21100010001),( 121????????nnn??? 23．設(shè) ?????? ??? 8259 3122A,求一個(gè) 24? 矩陣 B ,使 0?AB ,且 2)( ?BR . 解 由于 2)( ?BR ,所以可設(shè)?????????????43211001xxxxB . 則由 ???????????????
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