【正文】 ) ( ) ( )ac bd a b c d? ? ? ?. 常用不等式的放縮法： ①21 1 1 1 1 1 1 ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ) 1 nn n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ② 1 1 11 1 ( 1 )1 2 1n n n n nn n n n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 2）柯西不等式： 時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)（ 則若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababa RbbbbRaaaa???????????????? ?????? ??332211223222122322212332211 321321 ))(() 。 0 ( ) 0( ) ( ) f x g xf x f xf x g x gxg x g x ??? ? ? ? ? ? ?? （ 3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 ○ 1 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )fxf x g x gxf x g x?? ? ????? ?? ????定義域 ○2??? ???????????? 0)( 0)()]([)( 0)(0)()()(2 xgxfxgxf xgxfxgxf 或 ○3??????????2)]([)( 0)(0)()()(xgxf xgxfxgxf （ 4） .指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 ( ) ( ) ( ) ( )() ( 1 ) ( ) ( ) 。 l o g ( ) l o g ( ) ( 0 1 ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )a a a af x f xf x g x a g x f x g x a g xf x g x f x g x??????? ? ? ? ? ? ? ? ??????? （ 6）含絕對(duì)值不等式 ○1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值； ○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化 ??? ??????? ??? ??? ???)()()()( 0)()0)(),((0)()(|)(|)()()( 0)()(|)(|xgxfxgxf xgxgxfxgxgxfxgxfxg xgxgxf或或不同時(shí)為 注：常用不等式的解法舉例（ x 為正數(shù)）： ① 231 1 2 4( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( )2 2 3 2 7x x x x x? ? ? ? ? ? ? ② 2 2 22 2 32 ( 1 ) ( 1 ) 1 2 4 2 3( 1 ) ( )2 2 3 2 7 9x x xy x x y y??? ? ? ? ? ? ? ? 類似于 22sin c os sin (1 sin )y x x x x? ? ?， ③ 1 1 1| | | | | | ( ) 2x x xx x x? ? ? ?與 同號(hào)，故取等 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 (一 )二元一次不等式表示的區(qū)域 對(duì)于直線 0??? CByAx (A0) 當(dāng) B0 時(shí) , 0??? CByAx 表示直線 0??? CByAx 上方區(qū)域 。 0??? CByAx 表示直線 0??? cByAx 的上方區(qū)域 . （二）線性規(guī)劃 (1)不等式組是一組對(duì)變量 x、 y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于 x、 y 的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件 .z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量 x、y的解析式，我們把它稱為 目標(biāo)函數(shù) .由于 z=Ax+By又是關(guān)于 x、 y的一次解析式，所以又可叫做 線 性目標(biāo)函數(shù) . 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 . (2)一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的 最大值或最小值的問(wèn)題 ，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題 . (3)那么，滿足線性約束條件的解（ x,y）叫做 可行解 ，由所有可行解組成的集合叫做可行域 .在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域 .其中可行解（ 11,yx ）和（ 22,yx ）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解 . 線性目標(biāo)函數(shù)的最值常 在可行域的頂點(diǎn)處取得 。 tgc? tg2B=tgA tgC 這一相等關(guān)系及 tgB=tgCtgA?? ?1 tgCtgA隱含關(guān)系 .通過(guò) tgA+tgC≥ 2 tgCtgA? 這一恒成立的不等式得出關(guān)于 tgB的不等式，求解即得結(jié)論 . b)“不等”向“相等”的轉(zhuǎn)化 . ⅰ )由實(shí)數(shù)理論知：若 a≥ b 且 a≤ b 則必有 a=b，這是由“不等”變?yōu)椤跋嗟取钡牡湫湍Ｐ停跀?shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，例如：由 (xy)2≤ 0及隱含條件 (xy)2≥ 0可以導(dǎo)出 (xy)２＝ 0 ⅱ )添加變量使“不等”變“相等” .例如：由 x+y＞ 0? y＞ x可含 y=x+t，這里 t＞ 0，從而把 x,y的“不等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為某種“相等”關(guān)系 . 例 2 已知 a、 b、 c?R，函數(shù) f(x)=ax２ ＋ bx+c， g(x)=ax+b，當(dāng) 1≤ x≤ 1時(shí)， f(x)≤ 1 (1)證明：｜ c｜≤｜ (2)證明：當(dāng)｜ x｜≤ 1時(shí)，｜ g(x)｜≤ 2 (3)設(shè) a＞ 0，當(dāng)｜ x｜≤ 1時(shí)， g(x)的最大值是 2，求 f(x). 本題綜合了函數(shù)、方程、不等式的知識(shí)與方法，由于是以證明不等式為主，對(duì)邏輯思維和推理論證能力的要求很高，難度很大，它以二次函數(shù)和一次函數(shù)為載體，側(cè)重考查函數(shù)的概念，含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性等數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用，并利用函數(shù)作為材料，考查恒等變形，放縮變形的方法和技能，等式和不等式的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化 .這里僅剖析第 (3)小題 . 已知告訴我們：對(duì)一切 x?［ 1,1］， g(x)≤ 2恒成立，這是不等的關(guān)系，由此 (加上“ a＞ 0” )要得出 f(x)的表達(dá)式，即給出一組值，使之分別與 a、 b、 c相等，很明顯是“不等”向“相等”的轉(zhuǎn)化 . 簡(jiǎn)解如下： ∵ a＞ 0，∴ g(x)=ax+b 是［ 1,1］上的增函數(shù)，當(dāng) x=1時(shí)， g(x)max=g(1) 即： a+b=g(1)=2=f(1)f(0) ① ∵ 1≤ f(0)=f(1)2≤ 12≤ 1 ∴ c=f(0)=1 ∵當(dāng) 1≤ x≤ 1時(shí) f(x)≥ 1恒成立，即 f(x)≥ f(0) ∴直線 x=0是拋物線 y=f(x)的對(duì)稱軸，由此可 得 ab2 =0，即 b=0代入①得 a=2 ∴ f(x)=2x21 2.“相等”與“不等”的構(gòu)造 從上可以看出，“相等”向“不等”的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵之處在于構(gòu)建出相關(guān)的不等關(guān)系，再將這個(gè)不等關(guān)系向目標(biāo) (不等式 )作進(jìn)一步的變形處理即可 . a)在“相等關(guān)系”中構(gòu)造出“不等關(guān)系”： 途徑：①利用重要不等式：ⅰ )a2+b2≥ 2ab ⅱ )a、 b、 c?R＋ ， a+b≥ 2 ab ， a+b+c≥ 33abc ⅲ )ab +ba ≥ 2(a、 b＞ 0)等等 ②利用函數(shù)單調(diào)性： f(x)是區(qū)間 I 上的增函數(shù)，若 x x2?I，則 f(x２ )＜ f(x１ )； f(x)是區(qū)間 I上的減函數(shù)，若 x x2?I，則 f(x1)＞ f(x2)； ③利用等量關(guān)系中的隱含條件，如 x２ １≥ 0 ｜ x｜≤ a y= 1x2 ? x2+y2=a2? y≥ 0 ｜ y｜≤ a 例 3 已知 a、 b?R且 a 21 b? +b 21 a? =1， 求證 a2+b2=1 這是一道膾炙人口的名題，其證法有多種，常見(jiàn) 的方法有：平方法、三角法、幾何法等，但另辟蹊徑，巧用“相等”與“不等”，又可別開(kāi)生面，證明如下： 證 明 ： ∵ a 21 b? ≤ 2 b1a 22 ? b 21 a? ≤ 2 a1b 22 ? 兩 式 相 加 得a 21 b? +b 21 a? ≤ 1 又已知 a 21 b? +b 21 a? =1，則上述兩不等式必同時(shí)取等號(hào)即 a= 21 b? ,b= 21 a? ∴ a2+b2=1 例 4 求滿足 (x2+2x+3)(y2+1)=2的實(shí)數(shù) x,y 解：∵ x2+2x+3=(x+1)2+2≥ 2 y2+1≥ 1 ∴ (x2+2x+3)(y2+1)≥ 2 當(dāng)且僅當(dāng) x2+2x+3=2,y2+1=1時(shí)成立解之得 x=1且 y=0 b)在“不等”關(guān)系中構(gòu)造“相等”關(guān)系 . x=rcosθ 途徑：①設(shè)元構(gòu)造 .例： x2+y2≤ 1? (0≤ r≤ 1) y=rsinθ ②數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù) (或方程 ).例： x4x5 2 ≥ x可設(shè) y1= x4x5 2 ,y2=x 例 5 求證：nn2＜ 1n2 (n?N， n≥ 2) 證明：∵ 2n=(1+1)n＝ 1+n+ 21)n(n +? ∴ n≥ 2， n?N,右端展開(kāi)式中的各項(xiàng)為正 ∴ 2n＞ 21)n(n 即nn2＜ 1n2 例 6 為使不等式 x2+4xy+4y2+10x+ay+b＞ 0對(duì)任意實(shí)數(shù) x、 y恒成立，求實(shí)數(shù) a、 b應(yīng)滿足的條件 . 解：為使不等式恒成立，須且僅須 x2+4xy+4y2+10x+ay+b 為一個(gè)實(shí)數(shù)的平方加上一個(gè)正增量 t，可令 x2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4 10=2m a=20 根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件有： a=4m ? b=m2+t(t＞ 0) b=25+t＞ 25 所以當(dāng) a=20,b＞ 25時(shí)，原不等式恒成立 . 例 7 已知 x2+y2≤ 1，求 x+y的最大值 . 分析：這里，量 x+y 與 x2+y2的直接關(guān)系可以通過(guò) 2(x2+y2)≥ (x+y)2得出，還可以通過(guò)換元令 x=rcosθ， y=rsinθ，則有 r2≤ 1 ∴ 0≤ r≤ 1 ∴ x+y=rcosθ +rsinθ = 2 rsin(θ +4? )≤ 2 r≤ 2 得出 . 估計(jì)變數(shù)或式子的取值范圍，對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題能起到挖掘隱含信息，找到思維的切入點(diǎn)，從而使困難的問(wèn)題迎刃而解 . x+y=6 例 8 求解方程組 z2=xy9 這是二個(gè)方程三個(gè)變量的方程組，按常規(guī)似乎有無(wú)數(shù)個(gè)解 .但可對(duì) xy 進(jìn)行估算，可知xy＞ 9，否則 z2＜ 0,x+y＞ 0 ∵ x＞ 0,且 y＞ 0且 6=x+y≥ 2 xy ? xy≤ 9故 z2=xy9≤ 99=0 ∴ z=0且 x=y=3 ： 反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它在數(shù)學(xué)解題中確有奇效，若能有意識(shí)地挖掘問(wèn)題中潛在的不等關(guān)系，使兩者聯(lián)手，往往可以及時(shí)找到矛盾點(diǎn) —— 由不等導(dǎo)出矛盾 . 例 9 已知銳角α，β滿足??sincos+ ??sincos =2，求證α +β＝ 2? 證明：假設(shè)α +β＞ 2? ，則α＞ 2? β，β＞ 2? α ∵α，β， 2? 2， 2? β ?(0， 2? ) ∴ cosα＜ cos(2? β )＝ sinβ cosβ＜ cos(2? α )=sinα 從而 2=??coscos+ ??sinlog ＜??sinsin+ ??sinsin =2矛盾 故α +β≤ 2? ，同理α +β≥ 2? ，∴α +β =2? (二 )不等式與函數(shù)、方程的關(guān)系 前面談到“不等”與“相等”的相互依存，轉(zhuǎn)化，在不等式與函數(shù)、方程中尤為突出 . ，一元二次方程的關(guān)系 (1)一元二次方程的根 (二次函數(shù)圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫 坐標(biāo) )是對(duì)應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值，由此可引申出解一元高次不等式的“根軸法”，可以由數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)圖像求不等式的解集 . (2)方程的條件根問(wèn)題可以借助所設(shè)輔助函數(shù)與關(guān)于函數(shù)值的不等式，得出等價(jià)轉(zhuǎn)化 . 例 10 2x２ 3x=k 在［ 1,1］內(nèi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù) k的取值范圍 . 此題是有關(guān)一元二次方程根的個(gè)數(shù)討論，通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)，討論其零值點(diǎn)的分布，借助不等式求出 k的范圍 . 解：設(shè) y=2x23xk=f(x) ①若方程 2x23xk=0在［ 1， 1］上有兩根，則 Δ≥ 0 f(1)≥ 0 9+8k≥ 0 f(1)≥ 0 ? 2+3k≥ 0 解之得： 89 ≤ k≤ 1 1＜ 43 ＜ 1 23k≥ 0 ②若方程 2x23xk=0在［ 1,1］上僅有一