【正文】 分方程的形式。 c LC (d 2 u0 (t)) +RC (du0 (t )) +u (t)=u(t) dt dt2 0 由公式不 難 看出 ， 微分方程體 現(xiàn) 了 給 定 電壓 u (t) 與 u0 (t) 隨 時間 t 的 變 化關系 ， 是系 統(tǒng) 的一種 動態(tài) 的體 現(xiàn) 。如 圖 12 所示 ， 電 路由 電 阻 R、 電 感 L、 電 容 C 組成 ， 寫出 以 U (t) 為輸 入 ， U 0 (t) 為輸 出的微分方程。而微分方程的形式 dm/dt 與差分方程的形式 (M N +1?M N )/(T N +1?T N ) 恰恰反映了系 統(tǒng) 的 變 化的特性。 為 什么要建立 微分方程與差分方程 ， 因 為 人 們對 于 變 化非常關注 ， 人 們 往往希望從目前已知的 東 西上加上合理的 預測 而得到 2/30 第一章數(shù)學模型 未來的 變 化。微分方程用來描述 實際 系 統(tǒng) 被關注特性隨 時間 演 變 的 過 程 ， 它可以描述系 統(tǒng) 的 動態(tài)過 程。以下 1/30 自 動 控制系 統(tǒng) 的 C 語 言 設計 能容 為 本 節(jié) 需要的基本數(shù)學知 識 ， 如果 讀 者 對 微分、 積 分、拉普拉斯 變 化、拉普拉斯反 變換 能 夠 充分了解 ， 本 節(jié) 可略去不看。本 書 將分不同章 節(jié) 分 別 從模型、分析、 設計 、 實現(xiàn) 四個方面 進 行 講 解 ， 以期達到使 讀 者融會 貫 通的目的。 實際 系 統(tǒng) 是真 實 世界的客 觀 存在 ， 進 行系 統(tǒng)設計時 ， 首先要根據(jù) 實際 系 統(tǒng) ， 分析出系 統(tǒng) 的 時 域模型 ， 然后通 過拉普拉斯 變換 得到系 統(tǒng) 的 傳遞 函數(shù) ， 利用控制系 統(tǒng) 分析方法 ， 分析系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定性 ， 并根據(jù) 設計 要求 設計 系 統(tǒng) 校正 環(huán)節(jié) ， 然后將校正 環(huán)節(jié)轉換為時 域系 統(tǒng) ， 利用模 擬 量或者數(shù)字控制技 術 離散化各個 環(huán)節(jié) ， 并 實現(xiàn) 基本的 設 計 ， 然后根據(jù) 實際 系 統(tǒng) 控制狀 態(tài) 完善控制方式 ， 最 終 完成整個系 統(tǒng) 的 設計 。分析系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定性是 設計穩(wěn) 定系 統(tǒng) 的基 礎 ， 讀 者 務 求深入了解。 復域 ， 是指 時 域的微分方程通 過 拉普拉斯 變 壞得到的 變 量在復數(shù)范 圍 內的域。而 評 估數(shù)字 產(chǎn) 品的性能 時 ， 通常在 時 域中 進 行分析 ， 因 為產(chǎn) 品的性能最 終 就是在 時 域中 測 量的。 時 域是真 實 世界 ， 是惟一 實際 存在的域。 認識 系 統(tǒng) 的數(shù)學模型是 進 行控制系 統(tǒng)設計 的基 礎 。 認 清被控系 統(tǒng) 的數(shù)學模型 ， 是 設計 控制系 統(tǒng) 的基礎 。 第一章數(shù)學模型 版 權 所有 ： 王 帥 嚴 第 謹 任 一 何 章 盜版 數(shù) 或 學出 模 于商 型 業(yè) 目的的 惡 意 傳 播 被控系 統(tǒng) 的數(shù)學模型是描述系 統(tǒng) 內在物理量 正 之 間 常 關 轉 系 載 的 請 數(shù)學 注 表 明 達 版 式。 權 系 統(tǒng) 的數(shù)學模型體 現(xiàn) 了 輸入量、 輸 出量之 間 的內在關 系 ， 將 輸 入量與 輸 出量通 過 物理關系 連 接起來。從另外一 層 意 義 上 講 ， 對 于本 領 域被控 對 象數(shù)學模型 認識 的深入程度 ， 直接決定了工程 師 在 該領 域所能取得的成就。 時 域與復域 時 域 ， 是以 時間 做基本 變 量的范 圍 ， 描述數(shù)學函數(shù)或物理信號 對時間 的關系。我 們 的 經(jīng)歷 都是在 時 域中 發(fā) 展和 驗證 的 ， 我 們習慣 于事件按 時間 的先后 順 序地 發(fā) 生。正是因 為時 序是真 實 世界的 反映 ， 在用 編 程 語 言描述系 統(tǒng) 模型或控制系 統(tǒng)時 ， 首先需要分析出系 統(tǒng) 的 時 域模型。得到復域數(shù)學模型 (傳遞 函數(shù) ) 的目的在于分析系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定性 ， 常用的分析方法包括根 軌 跡和 頻 域 分析法。 圖 11 所示 為 系 統(tǒng) 分析 設計 的一般步 驟 。以上便完成了整個控制系 統(tǒng) 的 設計 流程。 本章是從模型的角度出 發(fā) ， 分析并 說 明由 實際 系 統(tǒng) 向 時 域模型的抽象 ， 并 進 一步生成 傳遞 函數(shù)的方法。 實際 系 統(tǒng) 時 域 時 域 轉換 模型 校正 傳遞 環(huán)節(jié) 函數(shù) 系 統(tǒng) 分析 圖 11 控制系 統(tǒng)設計環(huán)圖 基本數(shù)學工具 微分方程與差分方程 凡是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的 導 數(shù)與自 變 量之 間 關系的方程 ， 都稱之 為 微分方程。 微分方程 進 行離散化 變 形成了差分方程 ， 而差分方程的 時間 上的 連續(xù)發(fā) 生便會形成微分方程。也就是 說 如果我 們 可以知道 ―變 化 值 = 現(xiàn) 在 值 – 過 去 值 ‖， 那么我 們 就希望能 夠 得到 ―未來 值 = 現(xiàn) 在 值 + 變 化 值 ‖。 下面示例 11 說 明了系 統(tǒng) 微分方程的建立 過 程。 L R i(t) U(t) C U0(t) 圖 12 示例 11 電 路 圖 基 爾 霍夫定律指出回路的 電壓 和 為 0， 那么我 們 可以知道 u (t)= L di 1 )∫i(t)dt+Ri (t) ， 其中我 們 又知 +( dt C 道 u0 (t)= 1 ∫i(t )dt ， 消去中 間變 量即可得到 電壓輸 入 輸 出的微分方程。 對 于控制系 統(tǒng) 而言 ， 控制的 過 程是 動態(tài) 的 過 程 ， 控制中所 說 的平衡也是一種 動態(tài) 的平衡 ， 那么建立系統(tǒng) 的 動態(tài) 模型就是完成控制系 統(tǒng)設計 的重要前提。首先需要明確 ， 二次微分是 對 一次微分求微分 ， 明白 這 點 后 ， 差分方程也就容易寫出了。所以 說 ， 微分方程 轉 化 為 差分方程 ， 最終實 現(xiàn) 系 統(tǒng) 的離散化 ， 是理 論設計 向 實際應 用 轉 化的必要步 驟 。 +∞ 定 義 ： 時間 函數(shù) f (t) ,當 t 0 使有定 義 ， 且廣 義積 分 ∫ f (t)e?st dt 在 s 的某一區(qū)域內收 斂 ， 則 由此積 0 +∞ 分確定的參數(shù) 為 s 的函數(shù) F ( s)=∫ f (t)e?st dt 叫做函數(shù) f (t) 的拉普拉斯 變換 。 小 貼 士 如何由微分方程快速 進 行拉普拉斯 變換 ？ 設線 性定常系 統(tǒng) 由下述 n 階線 性常微分方程描述 ： 4/30 第一章數(shù)學模型 a0 d n c (t)+a1 d(n?1) c (t)+ +a(n?1) d c (t)+an c (t)=b0 d m r (t)+b1 d(m?1) r (t)+ +b(m?1) d r (t )+bn r (t) dtn dt(m?1) dt dt(n?1) dt dtm 公式中 ， c (t) 為 系 統(tǒng)輸 出量 ， r (t) 為 系 統(tǒng)輸 入量。 則對 上述公式 進 行拉普拉斯 變換 后 ， 得到 的代數(shù)方程為 ： [a0 sn+a1 s(n?1)+ +a(n?1) s+an ]C (s)=[b0 sm+b1 s(m?1 )+ +b(m?1) s+bm ] R(s) 則 系 統(tǒng) 的 傳遞 函數(shù)可表示 為 ： G(s)= C (s ) = b0 sm+b1 s(m?1)+ +b(m?1) s+bm R(s) a0 sn +a1 s(n?1)+ +a(n?1 ) s+an 典型 環(huán) 節(jié) 的微分方程、 傳遞 函數(shù)及 C 語 言 實現(xiàn) 方法 無 論 多么復 雜 的系 統(tǒng) ， 總 是可以由 簡單 的子系 統(tǒng) 構成 ， 分析典型 環(huán)節(jié) 的特點 ， 其目的是 為 了通 過 典型 環(huán)節(jié) 的 特點分析更 為 復 雜 的系 統(tǒng) ， 實際 工程 應 用中 ， 真正完全通 過 理 論 的方式建立模型是非常困 難 的 ， 實際 的模型建 立 過 程是一個復 雜 的 過 程 ， 需要通 過 假 設 、 驗證 、參數(shù) 實驗給 定等多種手段分析完善模型內容 ， 利用 實驗獲 取 模型的方法又稱作系 統(tǒng) 辨 識 技 術 ， 在下一 節(jié) 中將重點 講 解。將不同的 環(huán)節(jié) 通 過 四 則 運算 給 予不同的參數(shù) 進 行運算 ， 從而接近真 實 的模 型。 這 里的典型 環(huán)節(jié) 包括比例、 積 分、微分、 慣 性、震 蕩 、滯后六個子 環(huán)節(jié) 。 5/30 自 動 控制系 統(tǒng) 的 C 語 言 設計 比例 環(huán)節(jié) 比例 環(huán)節(jié) 是自然界普遍存在的一個 環(huán)節(jié) ， 幾乎所有的系 統(tǒng) 必定存在比例 環(huán)節(jié) 。其微分方程可表示 為 ： c (t)= Kr (t) 。 對 于比例 環(huán)節(jié) 而言 ， C 語 言 實現(xiàn) 相 對 比 較簡單 。 float ProElement(float K, float GiveValue) { float result。 return result。使用 時 直接定 義 一全局 變 量 ， 例如 float ResultValue。返回的 ResultValue = 。 慣 性 環(huán)節(jié) 的特點是 對變 化的 輸 入量 ， 輸 出量不能立刻復 現(xiàn) ， 或多或少的存在 一定的延 時 ， 在延 時 的 時間 內 ， 輸 出量會逐 漸 接近 輸 入的 給 定 值 。 其中 T 為慣 性 時間 常數(shù) ， T 越大 ， 慣 性越大 ， 當延 時時間約為 34 倍的 T 時 ， 輸 出接近 輸 入 給 定 值 。下面 講 解用 C 語 言 實現(xiàn)慣 性 環(huán)節(jié) 的 過 程。首先將微分方程 轉 化 為 差分方程的形式 ： T c (t )?c (t?1) +c(t)=r (t) ， 化 簡該