【正文】 8+42+36+30+24+18+12+6=330所以BC的最大值為67.15.（1）你能將下面的長方形圖紙分隔成全等的4個圖形嗎（如參考圖）？請給出不同于參考圖的另外三種分隔方法?，F(xiàn)在，美羊羊，喜羊羊，懶羊羊，羊爸爸在這個串聯(lián)的黑箱子輸入串輸入不同的正整數(shù)，其中羊爸爸輸入的數(shù)字最大，得到的4個最終輸出結(jié)果竟然是相同的，當(dāng)這個輸出結(jié)果最小時，求：羊爸爸的輸入值是多少？ 【分析】不妨設(shè)輸入的四個數(shù)字為a＜b＜c＜d由于最后輸出的結(jié)果相同，不妨設(shè)這個結(jié)果為m若m 是一個偶數(shù)因為4k+1是奇數(shù)，奇≠偶，所以最后輸入的結(jié)果也一定是個偶數(shù)，為2m依次類推，四個人輸入的數(shù)就都為8m，與輸入的正整數(shù)均不同矛盾所以m 是一個奇數(shù)那么前一步有2種選擇：2m，若前一步為2m ，則由2m 是一個偶數(shù)，可知這串過程一定為：8m→4m→2m→m接下來考察的奇偶性同理，若為偶數(shù)，則這串過程只能為m1→→→m這樣就只有2種輸入值，與輸入的正整數(shù)均不同矛盾所以也為奇數(shù)那么前一步有2種選擇：，=接下來考察的奇偶性同理，為奇數(shù)因此，四串過程分別為：8m→4m→2m→mm1→→→m→→→m→→→m由于這些數(shù)均為正整數(shù)，所以64丨m21，且為奇數(shù)要使m 最小，則此時，輸入的四個數(shù)字分別為：680、81因此，羊爸爸輸入的值為68014. 如圖，如果我們將很多邊長為1的正方形放入等腰△ABC中，BC邊上的高為AH，AB和BC的長度都是正整數(shù)，要求所有小正方形都有兩條邊與BC平行（如圖所示），先放最下面一層，從兩邊往中間放（最靠邊的小正方形的一個頂點正好在三角形的邊上），直到中間的空隙放不下一個小正方形為止，然后放倒數(shù)第二層，同樣從兩邊往中間放，直到中間的空隙放不下一個小正方形為止，依次類推，不斷地往上面疊放小正方形，點到無法往上疊為止，我們發(fā)現(xiàn)，每層的中間都沒產(chǎn)生空隙，而且≤8，最后整個△ABC內(nèi)一共放了330個小正方形，求BC長度的最大值。2=2, 輸入的是數(shù)字3，那么輸出的就是3x4+1=13. 現(xiàn)在將3個這樣的黑箱子串聯(lián)起來，如下右圖，這樣第一個黑箱子的輸出成為第二個黑箱子的輸入，依次類推，比如輸入的數(shù)字16，經(jīng)過第一個黑箱子，得到的結(jié)果是8，這個8就作為第二個黑箱子的輸入，經(jīng)過第二個黑箱子，得到結(jié)果4，這個4就作為第三個黑箱子的輸入，經(jīng)過第三個黑箱子，得到結(jié)果2，這個2結(jié)果就是最后的輸出了。 【分析】將一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，得到，則這個數(shù)約數(shù)的個數(shù)為而事實上，一個數(shù)的奇約數(shù)個數(shù)也可以用類似的求法由于乘法中遇偶得偶，所以將一個奇數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，那么得到的質(zhì)因子均為奇數(shù)所以將一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，得到（可以為0）則N的奇約數(shù)個數(shù)為現(xiàn)在我們要寫出連續(xù)的n 個數(shù)，使得每個數(shù)均有=2m+首先證明n≤17觀察如下三個數(shù)：，易知，k ，k+1，k+2中有且僅有1個是3的倍數(shù)所以，這三個數(shù)中，有兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的形式為：（可以為0）形如這樣的數(shù)，奇約數(shù)個數(shù)為不可能是2的冪，即不符合要求因此，這三個數(shù)中至少有2個不符合要求即連續(xù)3個9的倍數(shù)中，至少有2個數(shù)不是“中環(huán)數(shù)”若n≥18，易知，其中必有2個9的倍數(shù)，其中必有1個不是中環(huán)數(shù)因此，n≤17而121212113131313131313131311414143這17個數(shù)的奇約數(shù)個數(shù)分別有：4，均為“中環(huán)數(shù)”因此n 的最大值為1713. 下左圖是一個奇怪的黑箱子，這個額黑箱子有一個輸入口，一個輸出口，我們在輸入口輸入一個數(shù)字，那么在輸出口就會產(chǎn)生一個數(shù)字結(jié)果，其遵循的規(guī)則是： （1） 如果輸入的是奇數(shù)k輸出的是，4k+1 （2） 如果輸入的是偶數(shù)k,輸出的是，k247。我們希望能找到n個連續(xù)的中環(huán)數(shù)。12. 如果一個數(shù)的奇約數(shù)個數(shù)有2m個（m為自然數(shù)），則我們稱這樣的數(shù)為“中環(huán)數(shù)”，比如3的奇約數(shù)有1,3，一共2=21，所以3是一個“中環(huán)數(shù)”。 =所以因為m,n均為正整數(shù)，所以m為20的倍數(shù)，即m含有質(zhì)因子5，又m有9個約數(shù)，所以m=2252=100所以正方形ABEG的邊長為10厘米。 =因為EN∥CF，所以所以NH=EHEN=a由沙漏，所以180。 180。 180。 【分析】如下圖，連結(jié)HF不妨設(shè)兩個正方形的邊長為a由已知，GH=HE=a，DF=a，F(xiàn)C=a，因為GM∥DF，所以所以MH=GHGM=a由沙漏，所以 = 180。那么能夠組成的不同字串有_________個。8. 在一場1000米的比賽中，一個沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出來的沙子都掉入一個杯中（這個沙漏是在比賽進(jìn)行了一段時間后才開始漏沙的），小明以勻速進(jìn)行跑動，當(dāng)他跑到200米的時候，第a顆沙子正好掉入杯中，當(dāng)他跑到300米的時候，第顆沙子正好掉入杯中, 當(dāng)他跑到400米的時候，第顆沙子正好掉入杯中, 當(dāng)他跑到500米的時候，第顆沙子正好掉入杯中(a、b、c、d、e、f、g都是09的數(shù)字，并且它們的值可以相等)，我們發(fā)現(xiàn)：（1）a是2的倍數(shù)，（2）是一個質(zhì)數(shù)；（3）是5的倍數(shù)；（4）是3的倍數(shù)，那么四位數(shù)=__________(如果有多個解，需要將多個解都寫在橫線上)。20=10……10所以理論上最多有10名選手得分能不低于20分若有10位選手獲得獎品，則剩余5名選手得分不能大于10分而事實上，這5名選手之間共比賽10場，總共能產(chǎn)生20分所以這5名選手的得分不會少于20分，矛盾所以10位選手獲得獎品的情況不存在考慮9名選手獲得獎品，則剩余6名選手得分不能大于30分這是可行的，前9名選手兩兩之間都和棋，各得8分，這9名選手均戰(zhàn)勝剩余6名選手，各得12分，則這9名選手均得20分，而剩余6名選手每人已負(fù)9場，得分不能大于10分。再考慮乘積的最小值，要使乘積小，則兩個乘數(shù)要小，考慮上面的數(shù)百位最小為5，否則乘以2無法得到四位數(shù)，則下面為2符合要求，所以乘積最小為512212=108544所以乘積的最大值與最小值之差為175655108544=671117. 有15位選手參加一個圍棋錦標(biāo)賽，每兩個人之間需要比賽一場，贏一場得2分，平一場各得1分，輸一場得0分，如果一位選手的得分不少于20分，他就能獲得一份獎品，那么，最多有_______位選手獲得獎品。所以考慮上面的數(shù)百位為8，則下面為5符合要求。先考慮乘積的最大值，要使乘積大，則兩個乘數(shù)要大。由于1乘上面的數(shù)得到的積十位為1，因此上面數(shù)的十位也為1。 + = = 180。 第十四屆中環(huán)杯五年級決賽 一、填空題（每小題5分，共50分） 1. 計算：73+297+(3212)=_________ 【分析】原式=1173+1127+4=11100+4=1199+4=12032. 4208141616除以13的余數(shù)為__________ 【分析】4208141616≡484≡128≡11(mod13)3. 五年級有甲乙兩班，甲班學(xué)生人數(shù)是乙班學(xué)生人數(shù)的5/7，如果從乙班調(diào)3人去甲班，甲班學(xué)生人數(shù)就是乙班學(xué)生人數(shù)的4/5，甲班原有學(xué)生_________人 【分析】原來人數(shù)比為甲：乙=5: 7=15: 21，人數(shù)調(diào)整后人數(shù)比為甲：乙=4 : 5=16 : 20，前后兩次總?cè)藬?shù)不變，因此將總?cè)藬?shù)變?yōu)閇(5+7),(4+5)]=36份，比例調(diào)整如上，發(fā)現(xiàn)人數(shù)調(diào)整為1份，因此1份為3人，所以甲班原有學(xué)生153=45人。4. 已知990991992993=，則= 【分析】由于99丨990，所以99 丨所以99 丨96+64+28+++40→99 丨+247→AB=505. 如圖，△ABC面積為60，E、F分別為AB和AC上的點，滿足AB=3AE，AC=3AF，點D是線段BC上的動點，設(shè)△FBD的面積為S1, △EDC的面積為S2，則S1S2的最大值為__________. 【分析】由于，所以EF ∥ BC所以SEBD= SFBD=S1→S1+S2=SEBC=SABC =40 D D D D = = 222。 =和一定時，差越小，積越大，所以當(dāng) S1 =S2 時，即D為中點時，S1S2最大為2020=400 6．如圖，在每個方框中填入一個數(shù)字，使得乘法豎式成立，則這個算式乘積的最大值和最小值的之差為__________. 【分析】易得，乘數(shù)中下方數(shù)的十位為1，因為十位數(shù)字乘上面的數(shù)得到的積為三位數(shù)，為百位上的2乘上面的數(shù)得到的積為四位數(shù)。由于百位上的2乘以上面的數(shù)得到的個位為4，所以上面的數(shù)個位為2或7?？紤]上面的數(shù)百位為9，經(jīng)枚舉，無論個位是幾，91912均無法乘出百位為0的乘積。所以乘積最大為817215=175655。 【分析】比賽結(jié)束后，15位選手總得分為2=210分，210247。綜上，最多有9位選手能獲得獎品。 【分析】由沙漏勻速漏沙子，可知==a所以，不妨設(shè)=a+k，=a+2k ， =a+3k ，由3丨→3丨 a+3k→3丨a，又a是2的倍數(shù)，所以a是3的公倍數(shù)所以a=0或6若a=0，則由5丨 →5 丨a+2k→5 丨k ，即5丨 ，與是個質(zhì)數(shù)矛盾故a=6由=6+k→k≥4，由 =6+3k→k≤31由5丨 →5丨 6+ 2k→k 的個位為2或7而=6+k是個質(zhì)數(shù)，所以k 為奇數(shù)，且不能是3的倍數(shù)于是k 的個位為7，且在4~31之間，且不能是3的倍數(shù)所以， k 的取值可能有17當(dāng)k=7時，a=6，=13，=20， =27，符合要求，此時=2013當(dāng)k=17時，a=6，=23，=40， =57，符合要求，此時=4023綜上，=2013或40239. 如圖a,7個漢字寫在圖中的7個圓圈中，要求從某一個圓圈開始，沿著線段一筆畫這個圖形（所有圓圈都要走到，而且只能走一次），將這個一筆畫路徑上的字連成字串（如圖b,從“中”開始一筆畫，得到的字串為“中環(huán)難杯真的好”）。 【分析】從中出發(fā)，組成的字串有：從中到難后，有2條：中難環(huán)杯真的好，中難好的真杯環(huán)從中到環(huán)，有8條：中環(huán)難杯真的好，中環(huán)難好的真杯，中環(huán)杯難真的好，中環(huán)杯難好的真，中環(huán)杯真難好的，中環(huán)杯真難的好，中環(huán)杯真的難好，中環(huán)杯真的好難所以，從中到好，也有8條因此從中開始的路線有18條因此，從環(huán)、杯、真、的、好、難開始的路線也有18條從難開始，第一步有6種選擇，以后有順時針、逆時針2種選擇，所以，從南開始的字串有12條綜上，共有186+12=120條不同的字串10. 如圖兩個正方形ABEG,GECD，點H是GE中點，.連結(jié)DH、CH、AF、BF，正方形ABEG的面積為m平方厘米，陰影部分的面積為n平方厘米，已知m、n都是正整數(shù)，且m有9個約數(shù)，則正方形ABEG的邊長為_______厘米。 = 180。 = 180。 180。 180。二、動手動腦題（每小題10分，共50分，除第15題外請給出詳細(xì)解題步驟） 11. 兩人同時從AB兩地出發(fā)，相向而行，乙每小時行10千米，甲行30分鐘，到達(dá)恒生銀行門口，想起來自己的信用卡沒有帶，所以他原速返回A地去拿卡，找到卡后，甲又用元素返往B地，結(jié)果當(dāng)乙達(dá)到A地時，甲還需要15分鐘到達(dá)B地，那么A、B間的距離是多少厘米？ 【分析】甲花了半小時到達(dá)恒生銀行門口，又原速返回，所以回到A地時，又用了半個小時，再加上找卡的半小時，當(dāng)甲再次出發(fā)時，假設(shè)乙從B地到A地共用時t+則甲從A地到B地需用t 小時加15分鐘，即t+小時可列得方程：10（t+ ）=（t+）解得t=所以A、（+）=。再比如21的奇約數(shù)有1,3,7,21,4=22，所以21 也是一個中環(huán)數(shù)。求n的最大值。2 比如輸入的是數(shù)字8，那么輸出的就是8247。我們可以用16→8→4→2來表示這樣的過程?！痉治觥坎环猎O(shè)BC的長度為a，設(shè)= 2k ( k≤4)則=k如下圖，由于DE∥AH，所以則最下面小正方形能使用的長度為a2k ，最下面一層小正方形的個數(shù)為[a2k]這意味著第二層下底總長度為a2k ，同理可得第二層小正方形能使用的長度為a4k ，小正方形的個數(shù)為[a4k]依次類推，以后每層小正方形的個數(shù)依次為[a6k]，[a8k]，…要使BC最長，那么最低下一層放的小正方形的個數(shù)一定最多所以，此時層數(shù)一定最少而要使層數(shù)少，則AH要短而≤8 ，所以優(yōu)先考慮BC=8AH即k=4，此時，從下到上，每一層的個數(shù)為[a8]，[a16]，[a24]…]L易知，這是一個公差為8的等差數(shù)列若為8層，則最多有8+16+24+32+40+48+56+64=288＜330若為10層，最少有1+9+17+25+33+41+49+57+65=370＞330所以，應(yīng)有9層由于有9層，所以 AH＞9→AH=10，此時BC為80但330 247。（2）畫一個封閉的環(huán)，水平或豎直穿過相鄰的單元格，環(huán)不能交叉或重疊，下圖就是一些不允許出現(xiàn)的情況。 【分析】（1）如下圖：（2） 如下圖請以“溫暖，就是那么簡單”為題寫一篇不少于800字的記敘文?！敬鸢浮繙嘏?，就是那么簡單暗淡的天空沒有一絲暖意，只有冰冷的雨滴撲打在屋檐上。遠(yuǎn)處傳來令我熟悉不過的書包滾輪聲，一個清秀高挑的身影映入我的眼簾。他站在屋檐下，明亮的眸子凝望著天空，眼神中寫滿了憂慮和煩躁。他的眉頭緊鎖著，目光在雨和人之間徘徊。霧，更濃；天，更暗；而我，更冷了。不知過了多久，一片淡藍(lán)色的陰影出現(xiàn)在我的腳下。寂靜無聲，只聽見他急促地喘氣?？墒撬难凵?，猛然打動了我；他的笑容，那么淡、那么輕、那么美。一切都融進(jìn)了這綿綿的雨水之中。面對我驚愕的目光，他拿出一把紫色的雨傘，淡淡地笑了笑：“別忘了，咱們可是鐵哥們兒，這種