【正文】 2=m4π T 2 r/T2→ T=2πGMr3 → T∝ 3r 對于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質量 M 是一定的。由于 “天上”的物體（如行星、衛(wèi)星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學定律，但也有本質的區(qū)別，通常在解決衛(wèi)星問題時要特別注重以下三個等量關系 ： 若萬有引力提供向心力，則有 GMm/r2 =ma 向 若重力提供向心力， 則有 mg= ma 向 若萬有引力等于重力， 則有 GMm/r2 =mg 以上三式不僅表現形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區(qū)別辨析。這類“天上”的物體作勻速圓周運動的向第 12 頁 共 36 頁 心力僅由萬有引力提供。故而注重選擇題的解答技巧十分重要。 【 總結 】 以上兩種方法相比，顯然是前一種“判斷選定法”更為簡捷方便，但是要熟知題中給的各個速度的含義，只要排除不合理的答案即可得到正確答案?？傻?v=，即此衛(wèi)星的運行速度為 。故 D 選項錯誤。故運用排除法即可得知 C 選項正確。但是否以此速度運行的衛(wèi)星就一定處在 h=870km 的軌道上？還要計算判定。 對選項 B， v=，是發(fā)射速度，以此速度發(fā)射的人造地球衛(wèi)星會脫離地球的引力范圍，飛到距地球的“無限遠處”（在理論上此衛(wèi)星的軌道半徑 r=∞，其繞地球運行速度 v=0），不會穩(wěn)定運行在 h =870km 的軌道上，故 B 選項錯誤。其軌道半徑近似等于地球半徑，即 r≈ R 地 ，不會處在 h=870km 的軌道上。 【 解析】 （方法一）判斷選定法 對選項 A， v＝ ，是發(fā)射速度。只要明確這三個特殊速度的物理意義，此題求解也就十分容易。這顆衛(wèi)星的運行速度為（ ） A、 、 km/s C、 km/s D、 km/s 【 審題 】 題目中敘述的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射”與“運行”，考查的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射速度”與“運行速度”的物理意義。 第 11 頁 共 36 頁 人造地球衛(wèi)星的三個發(fā)射速度分別是： 第一宇宙速度（環(huán)繞速度）： v= 千米／秒；（地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度） 第二宇宙速度（脫離速度）： v= 千米／秒；（衛(wèi)星掙脫地球束縛的最小發(fā)射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）： v= 千米／秒。要明確三個宇宙速度均指發(fā)射速度。 人造地球衛(wèi)星在圓軌道上的運行速度是隨著高度的增大而減小的，由于人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程中必須克服地球引力做功，從而增大了衛(wèi)星的引力勢能，故要將衛(wèi)星發(fā)射到距地球越遠的軌道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的發(fā)射速度就要越大。其大小僅隨軌道半徑 r 的增大而減小，與衛(wèi)星的質量、形狀等因素無關。只有滿足這兩方面面的要求，才可以運用萬有引力定律和勻速圓周運動的規(guī)律計算求得天體的質量。首先要明確，這種方法只能用來計算“中心天體”的質量，而不能計算“環(huán)繞天體”的質量。故 D 選項正確。假設有一個在地面上靜止的物體，對其運用萬有引力定律可得： mgRGMm?2，則 M=GgR2。 對 D 選項。即可由 此式計算出地球質量。在此項中人造地球衛(wèi)星是 “環(huán)繞天體“，而地球則是中心天體，又已知人造地球衛(wèi)星的運行速度 v 和運動周期 T，由萬有引力定律與勻速圓周運動規(guī)律可得 hRmvhRGMm ???22)(和222 4)( TmhRG Mm ???，又因為此人造地球衛(wèi) 星是 ”近地“衛(wèi)星，則 hR，可視為 h ≈ 0 ，必有 R+h ≈ R ，則以上兩式可分別化為RmvRGMm 22 ? ① 和RTRGmm 222 4?? ② ， 又由于 v=Tr?2，代入 ① 式（當然也可以代入 ② 式）可得，地球的質量為 M=234GTR? 。故 B 選項正確。故 A 選項錯誤 . 對 B 選項。此選項之中“地球繞太陽運轉 ”，給定的條件是 ”地球繞太陽的運轉周期 ”和 ”地球與太陽之間的距離 ”。此外，還要注意到每一個選項中給定的兩個物理量能否用得上，只有做好這樣的 分析判斷之后，解題才能事半功倍。這是解題時必須注意的。所謂‘環(huán)繞天體’是指繞著‘中心天體’做圓周運動的天體或者衛(wèi)星以及人造衛(wèi)星，一般是質量相對較小的天體或衛(wèi)星。但是必須區(qū)別天體系統(tǒng)中‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’的不同。 22 / 火地 RR ＝ P/q2 【 總結 】 由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運用比例法進行求 解。離地對表面Ｒ 地 高處： m 地g? =GＭ 地 【 解析】 物體的重力來自萬有引力，所以離火星表面Ｒ 火 高處： m 火g? =GＭ 火 例 6：假設火星和地球都是球體，火星的質量Ｍ 火 和地球質量Ｍ 地 之比Ｍ 火 ／Ｍ 地 =p，火星的半徑Ｒ 火 和地球半徑Ｒ 地 之比Ｒ 火 ／Ｒ 地 =q，那么離火星表面Ｒ 火 高處的重力加速度和離地球表 面Ｒ 地 高處的重力加速度之比等于多少？ 【 審題 】解題時要明確以下二點： 一、因為已知火星的質量Ｍ 火 和地球質量Ｍ 地 之比Ｍ 火 ／Ｍ 地 =p 以及火星的半徑Ｒ 火 和地球半徑Ｒ 地 之比Ｒ 火 ／Ｒ 地 =q，故可以運用比例法進行求解。 【 解析】 設地球原來自轉的角速度為 1? ，用 F 表示地球對赤道上的物體的萬有引力 , N表 示 地 面 對 物 體 的 支 持 力 ， 由 牛 頓 第 二 定 律 得 mamRNF ??? 21? ① 由于物體受到的支持力與物體的重力是一對平衡力 ,所以有 mgGN ?? ② 當赤道上的物體“飄”起來時 ,只有萬有引力提供向心力，設此時地球轉動的角速度為 2? ，有 22?mRF ? ③ 聯(lián)立① 、 ②、 ③ 三式可得 ?12?? aag? ，所以 正確答案為 B 選項。 ② 不能因為物體隨地球自轉所需要的向心力很小而混淆了 萬有引力、重力、向心力的本質區(qū)別。 【 總結 】 由計算可知，引力 F= 遠大于向心力 F 向 = N，而物體所受重力 與物體所受的萬有引力 F= 相差很小，因而一般情況下可認為重力的大小等于萬有引力的大小 。 由牛頓第三定律可知，物體對彈簧秤的拉力為 F 拉 =。 【 解析】在 赤道附近處的 質量 m=1Kg的物體所受地球的萬有引力為 F=GMm/R2= 1011 1024 1/ ( 106)2 N= 此物體在赤道所需向心力為 F 向 =mω 2R=mR4π 2/T2= 1（606024 XXX） 2 106 N= N。 （ 4）萬有引力、重力、向心力三者間的關系： 地 面 物體隨地球自轉所需向心力 F 向 =mω 2r=mr4π 2/T 由萬有引力 F 引 =GMm/R2提供，F 向 是 F 引 的一個分力，引力 F 引 的另一個分力才是物體的重力 mg， 引力 F 引 是向心力 F 向 和重力 mg 的合力，三者符合力 的平行四邊形定則，大小關系是 F 引 ≥ mgF 向 。 當赤道上的物體“飄”起來時 ,必須有地面對物體的支持力等于零，即 N=0，這時物體做圓周運動的向心力完全由地球對物體的萬有引力提供 .由此可得赤道上的物體“飄”起來的條件是：由地球對物體的萬有引力提供向心力。對于同一物體，這一向心圖 44 第 7 頁 共 36 頁 力在赤道時最大， F 大 =mω 2R（ R 是地球半徑）； 在兩極時最小， F 小 =0。 一般說來，同一物體的重力隨所在緯度的變化而發(fā)生的變化很小， 有時可以近似認為重力等于萬有引力，即 mg=2 21rmmG。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動而逐漸增大 這種現象不是‘超重’，應該與‘超重’現象嚴格區(qū)別開來。 （ 2）地面物 體所受的重力： 處在地面上的物體所受的重力是因地球的吸引而產生的，其大小為 mg，方向豎直向下（絕不可以說為“垂直向下”和“指向地心”）。 【 總結 】 開普勒第三定律中的常量 K 與萬有引力定律中的常量 G的這種關系（ K= GM/4π 2，或者 G=4π 2/GM）可以用來方便的求解衛(wèi)星類的問題，作為一種解題的‘切入口’應在解題過程中予以重視。 顯然，由于太陽質量一定， K 的數值僅由太陽質量 M 決定，與其它因素無 關。論述此常量的決定因素有哪些 ?此結論是否也適用于地球與月球的系統(tǒng)？ 【 審題 】 本題中行星繞太陽運轉的軌道近似視為圓周軌道時，只要運用萬有引力定律和向心力公式即可證明得出結論。 K的值由 ‘中心天體’的質量而定，而常量 G 則是一個與任何因素無關的普適常量。 萬有引力定律中的常量 G 的測定不僅證明了萬有引力的存在，更體現了萬有引力定律在天文研究中的巨大價值。 （ 2） 萬有引力定律中的常量 G： 萬有引力定律中的常量 G 是由萬有引力定律 F=2 21rmmG變形求出的， G=F r2/m1m2，數值是 G=6?！行奶祗w’相同的天體系統(tǒng)中的常量 K 相同，‘中心天體’不同的天體系統(tǒng)的常量 K也不同。此規(guī)律對于其它的由‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’組成的天體系統(tǒng)同樣適用。挖去空穴后的剩余部分已不再是均質球了，故不能直接使用上述公式計算引力。 例 2： 如圖 43 所示，在均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為 R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心邊線上、與球心相距 d 的質點 m的引力是多大？ 【 解 析 】 把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和，即可求解完整的均質球體對球外質點 m 的引力 此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分對質點的引力 F1與半徑為 R/2 的小球對近質點的引力 F2之和，即 F=F1+F2。同時，再假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關系求出衛(wèi)星的 R3/T2，由開普勒第三定律得知所有繞地球運行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，找出等 量關系即可求解。因此可以假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關系求出引衛(wèi)星的 R3/T2，又由開普勒第三定律知，所有繞地球運行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，只要把假想衛(wèi)星的 R3/T2題中的二衛(wèi)星的 r3/T2 值相比較即可求得結論。萬有引力定律是從行星轉動所需要的向心力來源與本質上揭示了行星與太陽（或恒星）以及宇宙萬物間的引力關系，描述的是行星運動的動力學特征與規(guī)律。 （ 3） 開普勒行星運動定律與萬有引力定律的關系： 萬有引力定律是牛頓根據行星繞太陽（或恒星）運動的宇宙現象推知行星所需要的向心力必然是由太陽對行星的萬有引力提供，進而運用開普勒行星運動定律推導發(fā)現了萬有引力定律 . 開普勒行星運動定律是萬有引力定律的理論基礎。米 2／千克 2，叫作萬有引力恒量）。 （２） 萬有引力定律 萬有引力定律的內容是 ： 宇宙間一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們間的距離的平方成反比。開普勒定律只涉及運動學、幾何學方面的內容。若用 r 表示橢圓軌道的半長軸，用 T 表示行星的公轉周期，則有 k=r3/T2 是一個與 行星無關的常量。 B 同步軌道 地球 A 圖 42 第 4 頁 共 36 頁 開普勒第二定律（面積定律）：太陽和運動著的行星之間的聯(lián)線，在相等的時間內掃過的面積總相等。（衛(wèi)星掙脫太陽束縛的最小發(fā)射速度） 人造衛(wèi)星在圓軌道上的運行速度是隨著高度的增大而減小的，但是發(fā)射高度大的衛(wèi)星克服地球的引力做功多，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球遠的軌道， 在地面上的發(fā)射速度就越大。如圖 42 所示。 ⑦ 視天體的運動近似看成勻速圓周運動，其 所需向心力都是來自萬有引力， 即 vmTmrmrrvmmarMmGgm ??? ??????? 2 2222 4向 應用時根據實際情況選用適當的公式進行分析。 ⑥ 發(fā)射衛(wèi)星時，火箭要克服地球引力做功。 ② 、衛(wèi)星繞行速度與半徑的關系： 由rvmrMmG 22 ? 得 ：rGMv?即 rv 1? (r 越大 v 越小 ) ③ 、衛(wèi)星繞行角速度與半徑的關系： 由 rmrMmG 22 ??得：3rGM??即31r??；（ r越大ω越?。? ④ 、衛(wèi)星繞行周期與半徑的關系： 由22 2 ??????? TmrrMmG ?得： GMrT324??即 3rT? （ r 越大Ｔ越大）， （ 3）雙星問題 兩顆靠得很近的、質量可以相比的、相互繞著兩者連 線上某點做勻速圓周運的星體，叫圖 41 第 3 頁 共 36 頁 做雙星．雙星中兩顆子星相互繞著旋轉可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供．由于引力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的，因兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動周期是相等的，角速度也是相等的，線速度與兩子星的軌道半徑成正比． （三）運 用力學規(guī)律研究衛(wèi)星問題的 思維基礎 ： ①光年，是長度單位， 1 光年 = 1012千米 ②認為星球質量分布均勻，密度 MV?? ，球體